Utente:SilsisScalaZarli/Poliedri duali

In geometria, i poliedri sono associati a coppie chiamati duali, dove i vertici dell’uno corrispondono le facce dell’altro. Il duale del duale è il poliedro originale. Il duale di un poliedro con vertici equivalenti è uno con facce equivalenti, e uno con lati equivalenti è un poliedro con lati equivalenti. Quindi i poliedri regolari – i solidi platonici e i poliedri di Kepler-Poinsot – sono raggruppati in coppie. La dualità è definita in termini di reciprocità polare rispetto ad una data sfera. In questo modo, ogni vertice è associato ad una faccia piana, così che il raggio dal centro al vertice è perpendicolare al piano, e il prodotto della distanza dal centro è uguale al quadrato del raggio. In coordinate, per la reciprocità rispetto alla sfera

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$

il vertice

$(x_{0},y_{0},z_{0})$

è associato al piano

$x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2}$

I vertici del duale quindi sono i reciproci delle facce piane originali, e le facce piane del duale corrispondono ai reciproci dei vertici dell’originale. Inoltre ogni due vertici adiacenti definiscono un lato, e reciprocamente, due facce adiacenti che si intersecano definiscono un lato del duale.

Nota che il duale di un poliedro dipenderà rispetto a quale sfera effettuiamo il reciproco, la forma risultante sarà la distorsione di un’altra. Il centro della sfera è sufficiente per definire il duale a meno di similitudini. Se sono presenti più assi di simmetria, allora intersecheranno in un singolo punto, e questo è usualmente preso per essere il centro. In mancanza può essere usata la sfera inscritta, circoscritta o una semisfera (una alla quale tutti i lati sono tangenti). Si può vedere che ogni poliedro può essere deformato in una forma canonica per la quale la semisfera esista, infatti i punti dove i lati si toccano danno, in media, il centro del cerchio, e questa forma è unica a meno di congruenze.

Se il poliedro ha un elemento che passa per il centro della sfera, esso avrà un duale infinito. Ciò non è molto importante, poiché i lati e i vertici di un poliedro convesso possono essere proiettati in modo da formare un grafo sulla sfera, e il corrispondente grafo formato dal duale di questo poliedro è un grafo duale.

Il concetto di dualità è correlato alla dualità in geometria proiettiva, dove linee e lati sono intercambiabili; esso è infatti una particolare visone dello stesso.

Bibliografia

• Software for displaying duals
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra