Utente:Renamed user gxQITgCwp5/sandbox2

Pagina originale Conversione della tabella presente nella pagina in sezioni

Linearità

Per la proprietà di linearità la trasformata di $a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$ è $a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$.

Infatti:

${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x_{1}(n))z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$

La regione di convergenza è almeno la regione di intersezione di ROC₁ e ROC₂

Espansione temporale

Per la proprietà di espansione temporale si ha che la trasformata di

$x_{(k)}[n]={\begin{cases}x[r],&n=rk\\0,&n\not =rk\end{cases}}$

con $r$ intero è:

$X(z^{k})$

Infatti:

${\begin{aligned}X_{k}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{k}(n)z^{-n}=\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rk}=\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{k})^{-r}=\\&=X(z^{k})\end{aligned}}$

La regione di convergenza è: $r^{1/k}$.

Traslazione temporale

$x[n-k]$ $z^{-k}X(z)$ $Z\{x[n-k]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}$
Posto $j=n-k$ si ha:
$\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}$ $=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}$ $=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}$
essendo $x[\beta ]=0$ se $\beta <0$. Da cui:
$z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}=z^{-k}X(z)$ ROC, eccetto $z=0\$ se $k>0\,$ e $z=\infty$ se $k<0\$

Scalatura nel dominio z

$a^{n}x[n]\$ $X(a^{-1}z)\$ ${\begin{array}{lcl}Z\{a^{n}x[n]\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}&\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}&\\=X(a^{-1}z)&\\\end{array}}$ $|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}\$

Inversione temporale

$x[-n]\$ $X(z^{-1})\$ ${\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\ &\\=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\ &\\=X(z^{-1})&\\\end{array}}$ ${\frac {1}{r_{1}}}<|z|<{\frac {1}{r_{2}}}\$

Coniugazione complessa

$x^{*}[n]\$ $X^{*}(z^{*})\$ ${\begin{array}{lcl}Z\{x^{*}(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[x(n)(z^{*})^{-n}]^{*}\ &\\=[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\ ]^{*}&\\=X^{*}(z^{*})&\\\end{array}}$ ROC

Parte reale

$\operatorname {Re} \{x[n]\}\$ ${\frac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$ ROC

Parte immaginaria

$\operatorname {Im} \{x[n]\}\$ ${\frac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$ ROC

Differenziazione

$nx[n]\$ $-z{\frac {dX(z)}{dz}}$ ${\begin{array}{lcl}Z\{nx(n)\}=&\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\ &\\=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\ &\\=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\ &\\=-z{\frac {dX(z)}{dz}}&\\\end{array}}$

ROC

Convoluzione

$x_{1}[n]*x_{2}[n]\$ $X_{1}(z)X_{2}(z)\$ ${\begin{array}{lcl}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}=&\\{\mathcal {Z}}\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\}\ &\\=\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)]z^{-n}\ &\\=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}]\ &\\=[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}][\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}]\ &\\=X_{1}(z)X_{2}(z)&\\\end{array}}$ Almeno la regione di intersezione di ROC₁ e ROC₂

Cross-correlazione

$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]\$ $R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}(1/z^{*})X_{2}(z)\$ Almeno la regione di intersezione di ROC of $X_{1}(1/z^{*})$ e $X_{2}(z)$

Prima differenza

$x[n]-x[n-1]\$ $(1-z^{-1})X(z)\$ Almeno la regione di intersezione di ROC of X₁(z) e $|z|>0$

Accumulazione

$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\$

${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$

${\begin{array}{lcl}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]\cdot z^{-n}\\=sum_{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+x[n-1]+\\x[n-2]\cdots x[-\infty ])z^{-n}\\=X[z](1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}\cdots )\\=X[z]\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\=X[z]{\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{array}}$

Moltiplicazione

$x_{1}[n]x_{2}[n]\$

${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\frac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v\$

Almeno $r_{1l}r_{2l}<|z|<r_{1u}r_{2u}\$ |-

Teorema di Parseval

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\$

${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\frac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v\$