Utente:Peterpan98/Sandbox

In geometria, in particolare in geometria simplettica, il teorema di Darboux è un importante risultato da cui discende il fatto che due qualsiasi varietà simplettiche della stessa dimensione sono localmente simplettomorfe, ed in particolare sono simplettomorfe a $\mathbb {R} ^{2n}$ con la forma simplettica standard $\omega _{0}$.

Il teorema

Sia $(M,\omega )$ una varietà simplettica, e sia $p\in M$ un punto su di essa. Allora, esiste una carta locale definita in un intorno $U_{0}$ di $p$,

$(U_{0};x^{1},\dots ,x^{n},y_{1},\dots ,y_{n})$

tale che su $U_{0}$

$\omega _{0}=\sum _{i=1}^{n}d{x_{i}}\wedge d{y_{i}}$

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema si applica il teorema relativo di Moser sulla sottovarietà $X=\{P\}$ con

$i:X\hookrightarrow M\qquad P\mapsto p$

Scegliendo una qualsiasi base simplettica per $T_{p}M$ si possono definire le coordinate

$({\tilde {x}}_{1},\dots ,{\tilde {x}}_{n},{\tilde {y}}_{1},\dots ,{\tilde {y}}_{n})$

in un qualche intorno $U_{1}$ di $p$ tali che

$\omega _{1}|_{p}=\sum _{i}d{{\tilde {x}}_{i}}\wedge d{{\tilde {y}}_{i}}|_{p}$

Il teorema relativo di Moser assicura l'esistenza di un diffeomorfismo $\phi :U_{0}\to U_{1}$ tale che

$\phi ^{*}\omega _{1}=\omega _{0}$

Ora, dal momento che

$\phi ^{*}\omega _{1}=\phi ^{*}\left(\sum _{i}d{{\tilde {x}}_{i}}\wedge d{{\tilde {y}}_{i}}\right)=\sum _{i}d{({\tilde {x}}_{i}\circ \phi )}\wedge d{({\tilde {y}}_{i}\circ \phi )}$

è sufficiente scegliere come coordinate $x_{i}={\tilde {x}}_{i}\circ \phi$ e $y_{i}={\tilde {y}}_{i}\circ \phi$.

Conseguenze

Come conseguenza del teorema di Darboux si può affermare che localmente le varietà simplettiche di una stessa dimensione sono tutte isomorfe a $(\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$. Pertanto, se si dimostra una certa proprietà locale su $(\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$ che sia invariante per simplettomorfismi , allora questa sarà valida su ogni varietà simplettica di dimensione $2n$.

A differenza delle varietà riemanniane, che si possono classificare localmente tramite la curvatura, le varietà simplettiche non ammettono invarianti locali.

Local section of flow

Consider a vector field $X$ on a $n$-dimensional manifold $M$. A local section of the flow of $X$ on $M$ is a (connected) submanifold $\Sigma$ of dimension $n-1$ which obeys

$X(z)\not \in T_{z}\Sigma \qquad {\mbox{for all }}{z\in \Sigma }$

i.e. $\Sigma$ is everywhere transversal to $X$.

A local section can not contain any equilibrium point of the vector field, since $X({\bar {z}})=0\in T_{\bar {z}}\Sigma$. Beside this obstruction, we can say that local sections exists for all non-equilibrium points: indeed we have the following .

Proposition: If $z^{*}$ is such that $X(z^{*})\neq 0$ then there exists a local section of the flow of $X$ that containes $z^{*}$

Proof

Let $\Pi$ be the hyperplane passing through $z^{*}$ and orthogonal to $X(z^{*})$. Now, consider the function

$z\mapsto X(z^{*})\cdot X(z)$

This function is continuous, and since in $z^{*}$ it is strictly positive (it's the sqared norm of $X(z^{*})$, $|X(z^{*})|^{2}$) we can take a neighborhood $V$ of $z^{*}$ where the function is positive, meaning that for all $z\in \Pi \cap V$ the field $X(z)$ is transversal to $\Pi$. In conclusion, the section is given by $\Sigma =\Pi \cap V$.

Properties of local sections

Flow box

Definition

Given a vector field $X$, a flow box for its flow is given by the couple $(V,{\mathcal {B}})$ where $V$ is an open set and

${\mathcal {B}}:V\to (-t_{1},t_{2})\times S\subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}$

is a diffeomorphism, where $t_{1},t_{2}>0$ and $S\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ is a connected open set such that

${\mathcal {B}}_{*}(X|_{V})=(1,0,\dots ,0)$

Rectifying coordinates

A flow box gives a particular coordinate system, denoted by

$(\tau ,s)=(\tau ,s_{1},\dots ,s_{n-1})$

in which the differential equation ${\dot {z}}=X(z)$ is written as

${\dot {\tau }}=1\qquad {\dot {s}}=0$

Such coordinates are called rectifying since $\Phi _{t}^{X}|_{V}$, namely the restriction of the flow of $X$ to the flow box domain, is the rectified flow acting as

$\Phi _{t}^{X}|_{V}:\mathbb {R} \times V\to V\qquad (t,(\tau ,s))\mapsto (t+\tau ,s)$

Initial section

Notice that $\Sigma ={\mathcal {B}}^{-1}(\{0\}\times S)$ is a section of the flow of $X$: such hypersurface is called initial section of the flow box $(V,{\mathcal {B}})$. Then, the domain of the flow box coincides with

$V=\Phi _{(-T_{1},T_{2})}^{X}(\Sigma )$

The restriction of ${\mathcal {B}}^{-1}:(-t_{1},t_{2})\times S\to V$ to the set $\{0\}\times S$ gives an embedding $i:S\hookrightarrow i(S)=\Sigma$. Therefore, $s$ coordinates parametrize the inital section of the flow box.

Existence of the flow box

We have the following proposition guaranteeing the existence of flow boxes under general conditions (it is sufficient to be "away from equilibriums")

Proposition: Given a vector field $X$ on $M$ and a point $z^{*}$ such that $X(z^{*})\neq 0$, the following hold:

• There exists a flow box $(V,{\mathcal {B}})$ such that $z^{*}\in V$
• Suppose that $\Phi _{t}(z^{*})$ is injective for all $t\in (-t_{1},t_{2})$, for some $t_{1},t_{2}>0$. Then, there exists a flowbox $(V,{\mathcal {B}})$ such that $\Phi _{[-t_{1},t_{2}]}(z^{*})\subset V$

Sommersione

In matematica una sommersione è una mappa tra varietà differenziali il cui differenziale è suriettivo. La nozione di sommersione è duale a quella di immersione.

Definizione

Siano $M$ ed $N$ due varietà differenziali, di dimensione $m,n$ rispettivamente con $m\geq n$. La funzione differenziabile $f:M\to N$ è una sommersione nel punto $p\in M$ se il suo differenziale

$Df_{p}:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

è suriettivo.

Se la funzione $f$ è una sommersione in ogni punto $p\in U\subseteq N$ per qualche insieme $U$, allora si dice che $f$ è una sommersione in $U$, o anche che $f$ è sommersiva.

Equivalentemente, possiamo affermare che $f$ è sommersiva in $p$ se il differenziale $Df_{p}$ ha rango massimo $n$.

Esempi

• La proiezione naturale $\pi : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n% dove $m\geq n% definita come $\pi(x_1, \dots, x_m)=(x_1, \dots, x_n)% è una sommersione
• Una funzione scalare $f: A\subseteq \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}% è sommersiva in $p \in A% se e solo se $\nabla f(x_0)\neq 0%
• Un diffeomorfismo locale è una sommersione (e anche un'immersione)