Utente:Ming mm/Weierstrass preparation theorem
In matematica, il teorema di preparazione di Weierstrass è uno strumento per gestire le funzioni analitiche a più variabili complesse, in un dato punto P. Questo teorema afferma che tale funzione è un polinomio in una variabile fissata z, fino a quando non è moltiplicata per una funzione non zero in P. Tale polinomio è monico, e i coefficienti di termini di grado inferiore sono funzioni analitiche nelle variabili rimanenti e zero in P.
Funzioni analitiche complesse
[modifica | modifica wikitesto]Per una variabile, la forma locale di una funzione analitica f ( z ) vicino a 0 è z k h ( z ) dove h (0) non è 0 e k è l'ordine dello zero di f ( z ) nell'origine 0. Questo è il risultato a cui porta il teorema della preparazione. Scegliamo una variabile z, che possiamo supporre sia la prima, e scriviamo le nostre variabili complesse come ( z, z 2, ..., z n ). Un polinomio W ( z ) di Weierstrass è
- z k + g k − 1 z k − 1 + ... + g 0
dove g i ( z 2, ..., z n ) è analitica e g i (0, ..., 0) = 0.
Quindi il teorema afferma che per le funzioni analitiche f, if
- f (0, ..., 0) = 0,
e
- f ( z, z 2, ..., z n )
poiché una serie di potenze ha termini che coinvolgono solo z, possiamo scrivere (localmente vicino (0, ..., 0))
- f ( z, z 2, ..., z n ) = W ( z ) h ( z, z 2, ..., z n )
con h analitica e h (0, ..., 0) non 0, e W un polinomio di Weierstrass.
Ciò ha la conseguenza immediata che l'insieme di zeri di f, vicino (0, ..., 0), può essere trovato fissando eventuali piccoli valori di z 2, ..., z n e quindi risolvendo l'equazione W (z ) = 0 . I corrispondenti valori di z formano un numero di diramazioni che variano con continuità, in numero pari al grado di W in z . In particolare f non può avere uno zero isolato.
Teorema della divisione
[modifica | modifica wikitesto]Un risultato correlato è il teorema della divisione Weierstrass, in cui si afferma che se 'feg' sono funzioni analitiche, e G è un polinomio Weierstrass di grado N, allora esiste un unico paio he j tale che f = gh + j, dove j è un polinomio di grado inferiore a N. In effetti, molti autori dimostrano la preparazione di Weierstrass come corollario del teorema di divisione. È anche possibile dimostrare il teorema di divisione dal teorema di preparazione in modo che i due teoremi siano effettivamente equivalenti. [1]
Applicazioni
[modifica | modifica wikitesto]Il teorema di preparazione di Weierstrass può essere usato per mostrare che l'anello di germi delle funzioni analitiche in n variabili è un anello di Noether, che viene anche chiamato teorema di base di Rückert . [2]
Funzioni regolari
[modifica | modifica wikitesto]Esiste un teorema di preparazione più profondo per funzioni regolari, dovuto a Bernard Malgrange, chiamato teorema di preparazione di Malgrange . Ha anche un teorema di divisione associato, che prende il nome da John Mather .
Serie di potenze formali in anelli locali completi
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- ^ (German) 1971, p. 43, DOI:10.1007/978-3-642-65033-8, ISBN 978-3-642-65034-5. Lingua sconosciuta: German (aiuto);
- ^ Ebeling, Wolfgang, 2007.