Utente:Max.vaglieco/Sandbox/Ellisse/Equazioni

Equazioni

Relazione tra i parametri a, b e c di un'ellisse. Se scegliamo in particolare il punto C, dovendo essere costante e pari a 2a la somma delle distanze dei due fuochi da C ed essendoci simmetria rispetto al punto C, ciascuna delle due distanze sarà pari ad a. Applicando il teorema di Pitagora si ricava che $\scriptstyle \mathbf {a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

L'equazione dell'ellisse si trova eguagliando la somma delle distanze fra i due fuochi F₁(x₁;y₁) ed F₂(x₂;y₂) e un punto generico P(x;y) con il doppio del semiasse maggiore:

$\scriptstyle {\overline {PF_{1}}}+{\overline {PF_{2}}}=2a$

$\scriptstyle {\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}}}=2a$

Per trovare l'equazione canonica o normale dell'ellisse, con centro nell'origine e i fuochi sull'asse delle x(cioè a>b), sostituiamo y₁ = 0, y₂ = 0, x₁ = -c, x₂ = c, c = $\scriptstyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$. Dopo alcuni passaggi si ricava che l'ellisse centrata nell'origine di un sistema x-y di assi cartesiani con l'asse maggiore posto lungo l'asse delle ascisse è definita dall'equazione:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

La stessa Ellisse nella Geometria Parametrica è rappresentata mediante le funzioni trigonometriche i cui angoli rappresentano il valore dei parametri

${\begin{cases}\left|OA\right|\cos \beta =x=a\,\cos \alpha \\\left|OA\right|\sin \beta =y=b\,\sin \alpha \end{cases}}\qquad \tan \beta ={\frac {b}{a}}tan\alpha$

$\left|OA\right|=\left|{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}sin^{2}\alpha }}\right|=a\,\cos \alpha \cdot \cos \beta +b\,\sin \alpha \cdot \sin \beta$

Dove $\left|OA\right|$ è il vettore raggio dell' Ellisse, $\beta$ il suo angolo con l'asse positivo delle x, $\alpha$ l' angolo di riferimento di una qualsivoglia circonferenza.
Il collegamento tra le due espressioni dell'equazione dell'Ellisse è dato da:

${\begin{cases}bx=ba\,\cos \alpha \\ay=ba\,\sin \alpha \end{cases}}\qquad b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\qquad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$.