La spira percorsa da corrente
è immersa in un campo magnetico uniforme
. Chiamiamo
il vettore area della spira (modulo l'area della spira, direzione perpendicolare al piano della spira e verso dato dalla regola levogira) e
il vettore con modulo l'intensità di corrente
e direzione e verso del vettore densità di corrente
; la componente
di
complanare alla spira ha modulo
, con
l'angolo fra
e
; l'altra componente di
non influisce sul momento, in quanto in ogni istante risulta
. Sezioniamo la spira lungo la retta
passante per il suo centro di massa e consideriamo una delle due semispire ottenute. Scegliamo un sistema di riferimento cartesiano
con asse
coincidente con
e chiamiamo
la funzione che descrive l'andamento della semispira al variare di
.
Calcoliamo il momento angolare dovuto al tratto infinitesimo di filo
delimitato dall'intervallo
. In tale intervallo
è approssimabile con la retta tangente
, la cui lunghezza nel tratto considerato è pari a:
Inoltre la tangente dell'angolo
che il vettore
forma con l'asse
nel punto
è per definizione
.
La forza che il campo esercita sul tratto di filo
è
,
il cui modulo vale
e con direzione
.
Dalle relazioni fra le funzioni trigonometriche sappiamo che
e sostituendo nella formula di
otteniamo:
Ora il momento angolare è definito come:
Poiché
ha direzione
e
, i due vettori sono perpendicolari e il modulo del momento vale:
La somma dei momenti della semispira considerata è perciò:
passando al continuo:
Poiché, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, l'integrale definito di una funzione esprime l'area sottesa dal suo grafico, possiamo riscrivere la relazione come
dove
è l'area della semispira.
Poiché vale analoga considerazione per l'altra semispira, ne consegue che
Si chiama equazione reciproca un'equazione algebrica scritta nella forma
, in cui
è un polinomio ordinato per valori decrescenti delle potenze dell'incognita
, i cui coefficienti estremi e quelli equidistanti da questi siano uguali (equazioni reciproche di prima specie) oppure opposti (equazioni reciproche di seconda specie).
In altre parole, chiamato
il coefficiente del termine di grado
di
, l'equazione
si dice
- reciproca di prima specie se
, ![{\displaystyle \forall i=0,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853478b1cfc0b288a8b099541f3f4a398b102093)
- reciproca di seconda specie se
, ![{\displaystyle \forall i=0,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853478b1cfc0b288a8b099541f3f4a398b102093)