Utente:AnMo74/Sandbox

DESCRIZIONE

Viene qui descritto il metodo dell'interpolazione grafica per l'individuazione, sul piano cartesiano, di un punto intermedio tra due punti dati su una retta ed il suo equivalente procedimento matematico. Il metodo matematico è ovviamente più preciso, mentre quello grafico è utile nei casi in cui si abbia la necessità di avere un approccio visivo, e quindi più intuitivo ed immediato, dell'andamento dei valori nei dintorni del punto.

Problema iniziale

Dati due punti su un piano cartesiano, quindi nella forma (x₁, y₁) e (x₂,y₂), ricavare il terzo punto (x,y) conoscendo solo il valore di y.

Teoria

Le coordinate cartesiane del punto (x,y) sono date dall'equazione della retta nel piano cartesiano passante per due punti, come si ricava dal primo postulato di Euclide:

${\frac {x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{y-y_{1}}}$

Risoluzione grafica dell'azzeramento

Si devono disegnare i due punti (x₁, y₁) e (x₂, y₂), preferibilmente su un foglio di carta millimetrata, in modo che la loro distanza sia la più grande possibile, compatibilmente con il foglio a disposizione, e allo stesso tempo la distanza tra i due valori di x sia una valore "tondo", ad esempio 5cm, 10cm oppure 20cm. Ad esempio, le ascisse dei punti (58,13) e (59,-6) su un foglio A4 si possono trovare a 10cm tra loro. È ovvio che, essendo lo scopo dell'interpolazione trovare un punto intermedio tra 58 e 59, è del tutto inutile disegnare la scala da 0 a 58.

Si comincia con il tracciare un segmento orizzontale di 10cm nel centro del foglio; un estremo corrisponde con il valore 58 e l'altro con il valore 59. Questo segmento non è altro che uno spezzone dell'asse x ed assune il valore zero rispetto all'asse y; quindi il punto (58,13) si deve collocare esattamente 13 cm al di sopra dell'inizio del segmento (il valore 58), mentre il punto (59,-6) si deve collocare 6 cm al di sotto della fine del segmento stesso (il valore 59). Unendo con una retta i due punti così ottenuti, il valore di x cercato sarà quello in cui la retta obliqua intercetta il segmento graduato da 58 a 59. Più grande è la scala di rappresentazione e più preciso sarà il valore ricavato.

Risoluzione analitica dell'azzeramento

Risolvendo per x la precedente equazione, essa assume la seguente forma:

$x={\frac {x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}}\left({y-y_{1}}\right)+x_{1}$

Tendendo conto che, in questo caso particolare di azzeramento, y è sempre uguale a zero e che x₂ - x₁ è sempre uguale a uno, l'equazione si semplifica ulteriormente:

$x={\frac {-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}+x_{1}$

Nel caso dell'esempio:

$x={\frac {-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}+x_{1}={\frac {-13}{-6-13}}+58=58,68421...$

Applicazioni

Il metodo trova applicazione nel campo della fisica, in particolare in metrologia, dove permette di aumentare la precisione della lettura degli strumenti di misura, poiché consente di conoscere il valore intermedio tra due misure certe. L'interpolazione è particolarmente indicata nel caso in cui sia impossibile ottenere l'azzeramento di uno strumento elettrico a zero centrale, come nelle misure effettuate con il metodo di riduzione a zero usando il ponte di Wheatstone, ma si voglia comunque risalire al valore esatto della grandezza elettrica che lo determinerebbe, sempre a partire dai due valori adiacenti interi che si trovano a cavallo dello zero. In questo caso l’interpolazione è l’unico metodo per conoscere il valore esatto perché, se si utilizzano i resistori di precisione in cassetta variabili a gradini e il valore che consente l’azzeramento si trova tra un gradino e l’altro, l’azzeramento stesso è impossibile.