Trinomio notevole

Nel calcolo letterale, precisamente nelle scomposizione dei polinomi, il trinomio notevole è un polinomio che può essere espresso nella forma:

$ax^{2}+bx+c\qquad ({\mbox{con }}a,b,c\neq 0)$

e per il quale esiste un metodo noto per scomporlo come prodotto di due binomi di primo grado.

Metodo di scomposizione

Si possono distinguere i due casi in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale o diverso da $1$.

Caso a = 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale a $1$, il trinomio si presenta nella forma:

$x^{2}+bx+c\,$

in questo caso può essere scomposto nel prodotto di due binomi di primo grado nella forma:

$(x+u)(x+v)$,

dove $u$ e $v$ sono due termini con le seguenti due proprietà:

• $u+v=b$
• $u\cdot v=c$.

Eseguendo i conti infatti si ottiene:

${\begin{aligned}(x+u)(x+v)&=x^{2}+vx+ux+uv\\&=x^{2}+x(v+u)+uv\\&=x^{2}+bx+c\\\end{aligned}}$

Un metodo pratico per trovare $u$ e $v$ può essere quello di trovare le due radici del polinomio. Infatti se

$x^{2}+bx+c=0$,

allora:

$(x-u)(x-v)=0\Rightarrow {\begin{cases}x_{1}=u\\x_{2}=v\end{cases}}$

Per trovare le radici del trinomio notevole basta quindi utilizzare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Caso a ≠ 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia diverso da $1$ il polinomio si scompone nel modo seguente:

$ax^{2}+bx+c=a(x-u)(x-v)$,

dove $u$ e $v$ possiedono le seguenti proprietà:

• $u+v=-{\frac {b}{a}}$
• $u\cdot v={\frac {c}{a}}$.

Anche in questo caso la scomposizione può essere dimostrata nel modo seguente:

${\begin{aligned}a(x-u)(x-v)&=ax^{2}-avx-aux+auv\\&=ax^{2}-ax(v+u)+auv\\&=ax^{2}+bx+c\\\end{aligned}}$

Come nel caso precedente, $u$ e $v$ possono essere trovati cercando le radici del polinomio utilizzando la formula per le equazioni di secondo grado.

Trinomi di grado superiore a 2

Più in generale se consideriamo il trinomio:

$ax^{h}+bx^{k}+c\qquad {\mbox{con }}h=2k$

questo può essere scomposto utilizzando la sostituzione di variabili $x^{k}=t$ così da ottenere il trinomio:

$at^{2}+bt+c$,

che può essere scomposto utilizzando i metodi descritti sopra e successivamente riapplicando al contrario la sostituzione.

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.