Teorema di non discriminazione quantistico

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Il teorema di non discriminazione quantistico afferma che, dati i postulati della meccanica quantistica, non è possibile distinguere con certezza tra due stati non ortogonali di un sistema quantistico di cui si disponga un'unica copia. È invece possibile determinare lo stato con un errore. È possibile inoltre ridurre l'errore ad una quantità piccola a piacere, con tecniche come la tomografia quantistica, aumentando opportunamente le copie a disposizione.

Il teorema è equivalente al teorema di no-cloning quantistico: clonando un numero sufficiente di volte lo stato sarebbe infatti idealmente possibile determinarlo con errore piccolo a piacere. È notevole il fatto che pure essendo i risultati dei due teoremi in accordo, essi derivino da postulati differenti. Il teorema di no-cloning infatti utilizza unicamente il postulato di evoluzione unitaria, mentre il teorema di non discriminazione si basa sul postulato di misura.

Il teorema è inoltre legato ad altri risultati di teoria dell'informazione quantistica. In particolare impedisce il trasferimento di informazione più veloce della luce nel caso del teletrasporto quantistico.

Enunciato del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un sistema quantistico H e si supponga di voler determinare con sicurezza se H è in uno dei due stati non ortogonali

.

Per ottenere ciò sarebbe necessario disporre di una POVM tale che

.

ovvero di una misura che restituisca l'indice dello stato del sistema con probabilità uno.

Il teorema di non discriminazione afferma che una POVM con queste proprietà non può esistere.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione si limiterà per semplicità al caso del qubit. Il teorema è comunque vero in generale.

Si supponga per assurdo che la POVM esista. Allora dev'essere

.

In particolare

dove con si è indicata l'unica radice quadrata positiva dell'operatore positivo .

Si scriva ora

dove e formano una base ortonormale per il qubit e dev'essere

.

Allora

dato che

.

Ma per ipotesi

.

Si è quindi giunti ad una contraddizione.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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