Teorema di inversione di Lagrange

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Nell'analisi matematica, il teorema di inversione di Lagrange, anche conosciuto come la formula di Lagrange–Bürmann, fornisce l'espansione in serie di Taylor dell'inversa di una funzione analitica.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia definita come una funzione di tramite un'equazione nella forma

dove è analitica nel punto e inoltre . Allora è possibile invertire o risolvere l'equazione per nella forma di una serie in termini di , ovvero[1]

dove

Il teorema afferma inoltre che la serie ha un raggio di convergenza non nullo, ossia che rappresenta una funzione analitica di (che si potrebbe indicare con in un intorno di . Questo procedimento è anche chiamato reversione delle serie.

Se l'ipotesi di analiticità della funzione non è verificata, la formula è ancora valida per serie formali di potenze e può essere generalizzata in numerosi modi. Può essere formulata per funzioni di più variabili, può essere estesa per fornire una formula pronta per per qualunque funzione analitica , e infine generalizzata al caso , dove l'inversa è una funzione polidroma.

Il teorema fu dimostrato da Lagrange[2] e generalizzato da Hans Heinrich Bürmann,[3][4][5], entrambi nel tardo XVIII secolo. C'è una chiara derivazione usando l'analisi complessa e l'integrazione sui contorni;[6] la versione delle serie formali di potenze complesse è una conseguenza della conoscenza della formula per i polinomi, perciò la teoria delle funzioni analitiche può essere applicata.

Se è una serie formale di potenze, allora la formula sopra non dà i coefficienti dell'inversa moltiplicativa direttamente in termini dei coefficienti di . Se è possibile esprimere le funzioni e in serie formali di potenze come

con e , allora una forma esplicita dei coefficienti inversi può essere data in termini dei polinomi di Bell:[7]

dove      e     essendo il fattoriale crescente.

Quando , l'ultima formula può essere interpretata in termini delle facce dell'associaedro[8]

con per ogni faccia dell'associaedro .

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per esempio, l'equazione algebrica di grado nella forma

può essere risolta in mediante la formula di inversione di Lagrange applicata alla funzione , portando alla soluzione in serie formale

Dai test di convergenza, questa serie è infatti convergente per , che è anche il più grande disco in cui un'inversa locale di può essere definita.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Formula di Lagrange–Bürmann[modifica | modifica wikitesto]

Esiste un caso speciale del teorema di inversione di Lagrange che è usato in combinatoria e applicato quando per qualche funzione analitica con . Prendendo si ottiene e inoltre

che alternativamente può essere scritta come

dove è un operatore che estrae i coefficienti di nella serie di Taylor di una funzione di .

Una generalizzazione utile della formula è conosciuta come formula di Lagrange–Bürmann:

dove è un'arbitraria funzione analitica.

A volte, la derivata può essere piuttosto complicata, così una versione più semplice della formula sostituisce con per ottenere

che coinvolge invece di .

Funzione W di Lambert[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Funzione W di Lambert.

La funzione W di Lambert è una funzione che è implicitamente definita dall'equazione

È possibile usare il teorema per calcolare i coefficienti della serie di taylor di in . Prendendo , e riconoscendo che

si ottiene

Il raggio di convergenza di questa serie è (questo esempio si riferisce al ramo principale della funzione di Lambert).

Una serie che converge per maggiori (sebbene non per tutti) può essere derivata dall'inversione della serie di un'altra funzione. La funzione soddisfa l'equazione

Allora si può espandere in serie di potenze e invertirla. Questo da una serie per :

si calcola sostituendo al posto di nella serie di sopra. Per esempio, sostituendo e quindi si ha il valore di .

Alberi binari[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri l'insieme degli alberi binari non etichettati. Un elemento di è o una foglia di grandezza nulla, oppure una radice con due sottoalberi. denota il numero di alberi binari con nodi.

Si noti che rimuovere la radice divide l'albero binario in due alberi di grandezza più piccola. Questo fornisce l'equazione funzionale della funzione generatrice :

Ponendo , si ha così . Ora applicando il teorema di inversione alla funzione ,

Si conclude così che è un numero di Catalan.

Approssimazione asintotica di integrali[modifica | modifica wikitesto]

Nel teorema di Laplace-Erdelyi che fornisce l'approssimazione asintotica per integrali del tipo di Laplace, l'inversione della funzione è un passo cruciale del procedimento.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ M. Abramowitz, I. A. Stegun (a cura di), 3.6.6. Lagrange's Expansion, in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover, 1972, p. 14.
  2. ^ Lagrange, Joseph-Louis, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries, in Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 24, 1770, pp. 251–326. URL consultato il 2 aprile 2018 (archiviato dall'url originale il 30 giugno 2012). (Note: Although Lagrange submitted this article in 1768, it was not published until 1770.)
  3. ^ Bürmann, Hans Heinrich, "Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum," submitted in 1796 to the Institut National de France. For a summary of this article, see: Hindenburg, Carl Friedrich (a cura di), Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges von Herrn Bürmann [Attempt at a simplified analysis; an extract of an abridgement by Mr. Bürmann], in Archiv der reinen und angewandten Mathematik [Archive of pure and applied mathematics], vol. 2, Leipzig, Germany, Schäferischen Buchhandlung, 1798, pp. 495–499.
  4. ^ Bürmann, Hans Heinrich, "Formules du développement, de retour et d'integration," submitted to the Institut National de France. Bürmann's manuscript survives in the archives of the École Nationale des Ponts et Chaussées [National School of Bridges and Roads] in Paris. (See ms. 1715.)
  5. ^ A report on Bürmann's theorem by Joseph-Louis Lagrange and Adrien-Marie Legendre appears in: "Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann," Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques, vol. 2, pages 13–17 (1799).
  6. ^ E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press; 4th edition (January 2, 1927), pp. 129–130
  7. ^ Eqn (11.43), p. 437, C.A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, Chapman & Hall / CRC, 2002
  8. ^ Aguiar, Marcelo; Ardila, Federico (2017). "Hopf monoids and generalized permutahedra". arXiv: 1709.07504

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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