Teorema di densità di Lebesgue

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In matematica, il teorema di densità di Lebesgue afferma che per ogni insieme Lebesgue-misurabile la densità di è pari 1 in quasi ogni punto di , dove la densità in un punto è il limite della misura dell'intersezione tra e una palla centrata nel punto, diviso per la misura della palla, nel limite in cui quest'ultima ha un raggio che tende a zero.

Si tratta di un caso particolare del teorema di Lebesgue.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Sia la misura di Lebesgue su e sia un insieme Lebesgue-misurabile contenuto in . La "densità approssimata" di in una palla di raggio centrata in è definita come:

Il teorema di densità di Lebesgue afferma che per quasi ogni punto la densità, definita come:

esiste e vale 1.

La densità di ogni misurabile può essere quindi 0 oppure 1 quasi ovunque in . Se si verifica che e , inoltre, allora è certa l'esistenza di punti in dove la densità non è né 0 né 1. Ad esempio, se si considera un quadrato in un piano, la densità al suo interno è 1, sul bordo 1/2 e negli angoli 1/4. L'insieme dei punti nel piano in cui la densità non è né 0 né 1 non è vuoto (i bordi del quadrato), ma costituisce un insieme di misura nulla.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability, 1999, ISBN 978-0-521-65595-8.
  • (EN) Hallard T. Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus. Quart. J. Math. Oxford (2), 33:71-83, 1982.
  • (EN) Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Princeton Lectures in Analysis III: Real Analysis:Measure theory,Lebesgue integration, and Hilbert Spaces, Princeton, Princeton University Press, 2005.

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