Teorema di Tolomeo

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Il teorema di Tolomeo stabilisce la relazione fra lati e diagonali in un quadrilatero inscritto in una circonferenza.

Il Teorema di Tolomeo è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fra i lati e le diagonali di un quadrilatero ciclico, ovvero un quadrilatero inscritto in una circonferenza. Il teorema compare nel libro primo dell'Almagesto di Claudio Tolomeo.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza, vale la seguente relazione:

\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD},

o, a parole,

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza, la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali.

È anche vero il viceversa, ossia:

Se in quadrilatero la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti è uguale al prodotto delle sue diagonali, allora il quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

  • Sia ABCD un quadrilatero ciclico.
  • Si determini sulla diagonale AC il punto E, tale che l'angolo AEB sia congruente con l'angolo BCD.
  • Osservando il disegno centrale, a destra, si vede che i triangoli AEB (giallo) e BCD (viola) sono simili; infatti gli angoli in C e in E sono uguali per costruzione, mentre gli angoli in A e D sono uguali in quanto angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda BC. Di conseguenza, vale la relazione:
\overline{AE}:\overline{CD}=\overline{AB}:\overline{BD}
o, equivalentemente,
\overline{AB}\cdot \overline{CD}=\overline{AE}\cdot \overline{BD}.
  • Osservando il disegno in basso, a destra, si vede che anche i triangoli BEC (giallo) e ABD (viola) sono simili; infatti gli angoli in B sono congruenti, come lo sono gli angoli in C e D, in quanto angoli alla circonferenza che insistono sulla stessa corda AB. Quindi si ha che:
\overline{EC}:\overline{BC}=\overline{AD}:\overline{BD},
da cui
\overline{AD}\cdot \overline{BC}=\overline{EC}\cdot \overline{BD}.
  • Sommando membro a membro la seconda e la quarta equazione si ottiene:
\overline{AB}\cdot \overline{CD} + \overline{AD}\cdot \overline{BC} = \overline{AE}\cdot \overline{BD} + \overline{EC}\cdot \overline{BD} = \left(\overline{AE} + \overline{EC}\right)\cdot \overline{BD} = \overline{AC}\cdot \overline{BD}.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Tolomeo

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