Teorema di Talete (cerchio)

In geometria, il teorema di Talete è un teorema riguardante un triangolo inscritto in un cerchio.

Enunciato

Cerchio di Talete

Il triangolo inscritto in un cerchio (o in una semicirconferenza) e che ha per lato il suo diametro deve essere un triangolo rettangolo.

Dimostrazione

Rappresentazione grafica della dimostrazione

Notiamo, innanzitutto, che un triangolo soddisfacente le ipotesi è inscritto in un semicerchio del cerchio assegnato. Chiamiamo AC il diametro del semicerchio. Due vertici del triangolo sono dati dai punti A e C. Il terzo vertice, detto B, sarà un generico punto della semicirconferenza.

Detto O il centro della circonferenza, abbiamo che OA = OB = OC in quanto raggi della stessa; avendo OBA e OBC ciascuno due lati uguali essi sono due triangoli isosceli. Ma poiché in un qualsiasi triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, allora valgono le uguaglianze OBC = OCB e BAO = ABO.

Poniamo adesso α = BAO e β = OBC, per cui gli angoli interni del triangolo ABC sono α, α + β e β; in un qualsiasi triangolo la somma degli angoli interni è un angolo piatto (180°), il che può essere applicato in questo caso al triangolo ABC:

$\alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }$

allora

${2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }$

o, più semplicemente,

$\alpha +\beta =90^{\circ }$

ma α + β è esattamente l'angolo individuato da B: essendo esso un angolo retto il triangolo ABC è un triangolo rettangolo.

Q.E.D.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Talete, su MathWorld, Wolfram Research.

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