Teorema di Sturm

Il teorema di Sturm è uno strumento molto utile per studiare la separazione delle radici di un polinomio. Esso permette la determinazione di intervalli contenenti le radici del polinomio.

Il nome deriva dal matematico Jacques Charles François Sturm.

Successione di Sturm

Per arrivare ad enunciare il teorema di Sturm è necessario definire la successione di Sturm. Dato un polinomio $P(x)$ di grado $n,$ la sua successione di Sturm $P_{0}(x),P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)$, con $P_{0}(x)\equiv P(x)$ e $P_{1}(x)\equiv P'(x)$, si definisce come:

$\left\{{\begin{array}{l}P_{0}(x)=P_{1}(x)Q_{1}(x)-P_{2}(x)\\P_{1}(x)=P_{2}(x)Q_{2}(x)-P_{3}(x)\\\quad \vdots \\P_{k-2}(x)=P_{k-1}(x)Q_{k-1}(x)-P_{k}(x)\\P_{k-1}(x)=P_{k}(x)Q_{k}(x).\end{array}}\right.$

Si definiscono variazioni successioni di due numeri consecutivi, esclusi gli zeri, che abbiano segno opposto. Il numero di tali variazioni nella successione si indica con $V(x)$.

Enunciato

Se $P(x)$, un polinomio di grado $n\geq 1$ e $a_{i}\in \mathbb {R}$ ha radici tutte distinte e $P_{0}(x),P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)$ è la sua successione di Sturm, allora per ogni coppia di reali $a$ e $b$ con $a\leq b$, $V(a)-V(b)$ fornisce il numero di radici reali $\alpha$ di $P(x)$ tali che $a<\alpha \leq b$.