Teorema di Perron-Frobenius

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Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): A

è una matrice non negativa (cioè, con tutti gli elementi maggiori o uguali a zero) primitiva e indecomponibile allora
  1. L'autovalore di modulo massimo Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): \lambda
di Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): A
è reale positivo
  1. Esso è un autovalore semplice
  2. L'autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive
  3. L'autovettore corrispondente è l'unico autovettore non negativo di Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): A
  1. L'autovalore di modulo massimo, visto come funzione Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): \rho(A)
della matrice Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): A

, è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): B \ge A

(s'intende che tale disuguaglianza valga elemento per elemento) e Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): B \neq A

, allora Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): \rho(B)>\rho(A)


Nel caso in cui Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): A

sia irriducibile ma non primitiva non è detto che l'autovalore Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): \lambda
di Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): A
sia semplice.

Il teorema di Perron-Frobenius è un risultato abbastanza potente ma elementare di algebra lineare che solitamente non si vede nei primi corsi. Una sua applicazione è per esempio quella di assicurare l'esistenza di misure invarianti per catene di Markov finite.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema fu enunciato da Perron nei primi del Novecento e da lui dimostrato nel caso particolare in cui Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): A

ha tutti gli elementi positivi; fu poi esteso da Frobenius al caso qui riportato e a casi più complessi di matrici che mandano un cono di Errore del parser (Non è possibile archiviare l'immagine della formula matematica sul filesystem.): \mathbb C
in sé. Wielandt trovò poi una dimostrazione particolarmente breve ed elegante del teorema.


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