Teorema di Perron-Frobenius

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Il teorema di Perron-Frobenius afferma che, se è una matrice non negativa (cioè, con tutti gli elementi maggiori o uguali a zero) primitiva e indecomponibile allora

  1. L'autovalore di modulo massimo di è reale positivo
  2. Esso è un autovalore semplice
  3. L'autovettore corrispondente ha tutte le componenti positive
  4. L'autovettore corrispondente è l'unico autovettore non negativo di
  5. L'autovalore di modulo massimo, visto come funzione della matrice , è una funzione strettamente crescente in ognuno dei suoi elementi: cioè, se (s'intende che tale disuguaglianza valga elemento per elemento) e , allora

Nel caso in cui sia irriducibile ma non primitiva non è detto che l'autovalore di sia semplice.

Il teorema di Perron-Frobenius è un risultato abbastanza potente ma elementare di algebra lineare che solitamente non si vede nei primi corsi. Una sua applicazione è per esempio quella di assicurare l'esistenza di misure invarianti per catene di Markov finite.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema fu enunciato da Perron nei primi del Novecento e da lui dimostrato nel caso particolare in cui ha tutti gli elementi positivi; fu poi esteso da Frobenius al caso qui riportato e a casi più complessi di matrici che mandano un cono di in sé. Wielandt trovò poi una dimostrazione particolarmente breve ed elegante del teorema.

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