Teorema di Haga

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Il Teorema di Haga è un teorema riguardante la matematica degli origami, che studia come questi possono essere usati per arrivare alla soluzione di un problema matematico o geometrico.

Costruzione del Teorema di Haga

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema di Haga è stato enunciato dall'entomologo Kazuo Haga. Esso afferma che

"Se sul lato di un foglio quadrato si fissa un segmento tale che il suo rapporto col lato del quadrato sia , allora portando il vertice in mediante la piega , il lato interseca nel punto tale che:
.
Quindi, portando a sovrapporsi su , si divide a metà ottenendo così un segmento:
."

Esempi:

  • Se è il punto medio di , allora ; ; .
  • Se divide in quattro parti, allora ; ; .
  • Se e parti, allora ; ; .
  • In genere se allora e .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

I triangoli e sono simili (per il primo criterio di similitudine, avendo due angoli uguali) e quindi vale la seguente proporzione: .

Ponendo, senza ledere la generalità, il lato del quadrato pari a 1 abbiamo che e

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo si ha

Poiché si ha e quindi .

Sostituendo nella proporzione si ottiene:

Triangoli "egizi"[modifica | modifica wikitesto]

Solo nei casi in cui divide il lato del quadrato in 2 o 3 parti si ha che i due triangoli e sono triangoli rettangoli "egizi" ovvero costruiti sulla terna pitagorica 3, 4, 5. Poiché i triangoli in oggetto sono simili basterà impostare il ragionamento solo sul triangolo .

Imponiamo le condizioni affinché i cateti di tali triangolo rettangolo siano rispettivamente 3 e 4 volte multipli di una stessa grandezza (da cui, per il Teorema di Pitagora, segue che l'ipotenusa lo sarà 5 volte).

Sono possibili i due casi: e o, viceversa, e .

Nel primo caso abbiamo:  ; da cui segue: che ha una sola soluzione positiva .

Nel secondo caso abbiamo:  ; da cui segue: che ha una sola soluzione positiva .

C.V.D.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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