Teorema di Feuerbach

*Fig.1* - Il cerchio dei nove punti è tangente all'incerchio e ai tre excerchi.

*Fig.2* - La retta di Eulero è la retta rossa che passa per l'ortocentro (blu), il baricentro (arancione) e il circocentro (verde). Il centro del *cerchio dei nove punti* (rosso), giace sulla retta e a ugual distanza tra l'ortocentro e il circocentro.

Il teorema di Feuerbach è un teorema di geometria piana relativo alle proprietà del cerchio dei nove punti o cerchio di Feuerbach.

Nel 1822 Karl Feuerbach scoprì che ogni circonferenza dei nove punti di un triangolo è esternamente tangente ai tre excerchi (detti anche cerchi exinscritti) e internamente tangente all'incerchio (o cerchio inscritto), quindi a tutte e quattro le circonferenze tangenti ai tre lati. L'enunciato è:

... la circonferenza che passa per i piedi delle perpendicolari abbassate dai vertici di un qualsiasi triangolo sui lati opposti (altezze), è tangente a tutte le quattro circonferenze che risultano tangenti ai tre lati del triangolo ...

Il punto nel quale il cerchio inscritto nel triangolo e il cerchio dei nove punti si toccano è spesso denominato come punto di Feuerbach.

Feuerbach dimostrò anche che il centro della circonferenza dei nove punti giace sulla retta di Eulero tra l'ortocentro e il circocentro, a ugual distanza da essi (vedi Fig.2), ed inoltre che il Cerchio di Eulero è tangente internamente al cerchio inscritto ed esternamente ai tre cerchi ex-inscritti.

Attribuzione[modifica | modifica wikitesto]

Sebbene gli venga usualmente accreditato, in realtà Feuerbach non scoprì interamente il cerchio dei nove punti, perché studiò solo sei dei nove punti notevoli. Infatti, nella definizione classica, i nove punti sono: i 3 punti medi dei lati del triangolo, i 3 piedi delle altezze e i 3 punti medi dei segmenti compresi fra i vertici e l'ortocentro. Il fatto che anche questi tre punti appartengono alla stessa circonferenza dei primi sei, non fu analizzato dallo studioso. Inoltre, in una data lievemente precedente, Charles Brianchon e Jean Victor Poncelet avevano enunciato e dimostrato lo stesso teorema. Fu comunque il matematico Olry Terquem, poco dopo Feuerbach, a provare l'esistenza del cerchio dei nove punti. Fu infatti il primo a riconoscere le proprietà dei tre punti medi dei segmenti compresi fra i vertici e l'ortocentro (vedi Fig. 3, punti J, K, e L) e fu quindi il primo a utilizzare il nome "dei nove punti". In tempi successivi si è ulteriormente definito che questa costruzione geometrica contiene diciotto punti rimarchevoli e per questa ragione viene chiamata anche cerchio dei dodici punti, cerchio degli n punti, cerchio medioscritto e cerchio di Eulero.