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Teorema di Bendixson-Dulac

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In matematica, teorema di Bendixson-Dulac è un teorema che consente di stabilire se per un sistema autonomo esistono o meno soluzioni periodiche.

Il teorema fu proposto dal matematico svedese Ivar Bendixson nel 1901 ed è stato successivamente perfezionato dal francese Henri Dulac nel 1933 usando il teorema di Green.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Se esiste una funzione tale che:

abbia lo stesso segno () quasi ovunque (eccetto un insieme di misura nulla) in una regione semplicemente connessa, allora il sistema autonomo:

non ha soluzioni periodiche.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Senza perdere di generalità si può considerare una funzione tale che:

in un dominio semplicemente connesso di . Si supponga che esiste una soluzione del sistema in che è una curva chiusa, e sia la regione delimitata da . Per il teorema di Green:

Dal momento che lungo si ha e , l'integrando si annulla: essendo una contraddizione, non esiste alcuna curva chiusa .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
  • (EN) N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
  • (EN) N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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