Teorema di Bendixson-Dulac

In matematica, teorema di Bendixson-Dulac è un teorema che consente di stabilire se per un sistema autonomo esistono o meno soluzioni periodiche.

Il teorema fu proposto dal matematico svedese Ivar Bendixson nel 1901 ed è stato successivamente perfezionato dal francese Henri Dulac nel 1933 usando il teorema di Green.

Il teorema

Se esiste una funzione $\varphi (x,y)$ tale che:

${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}$

abbia lo stesso segno ($\neq 0$) quasi ovunque (eccetto un insieme di misura nulla) in una regione semplicemente connessa, allora il sistema autonomo:

${\frac {dx}{dt}}=f(x,y)$

${\frac {dy}{dt}}=g(x,y)$

non ha soluzioni periodiche.

Dimostrazione

Senza perdere di generalità si può considerare una funzione $\varphi (x,y)$ tale che:

${\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}>0$

in un dominio semplicemente connesso di $R$. Si supponga che esiste una soluzione $C$ del sistema in $R$ che è una curva chiusa, e sia $D$ la regione delimitata da $C$. Per il teorema di Green:

$\iint _{D}^{}{\left({\frac {\partial (\varphi f)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\varphi g)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}^{}{-\varphi gdx+\varphi fdy}=\oint _{C}^{}{\varphi \left(-{\dot {y}}dx+{\dot {x}}dy\right)}$

Dal momento che lungo $C$ si ha $dx={\dot {x}}dt$ e $dy={\dot {y}}dt$, l'integrando si annulla: essendo una contraddizione, non esiste alcuna curva chiusa $C$.

Bibliografia

• (EN) S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
• (EN) N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
• (EN) N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

Voci correlate

• Sistema autonomo (matematica)
• Spazio semplicemente connesso
• Teorema di Green
• Teorema di Poincaré-Bendixson