Teorema della sottobase di Alexander

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Il teorema della sottobase (o prebase) di Alexander è un importante risultato di topologia, che fornisce una condizione necessaria per la compattezza di spazi qualsiasi a partire dal comportamento dei ricoprimenti di prebasi

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico e sia una sua base. È noto che è compatto se ogni suo ricoprimento fatto con aperti di ammette un sottoricoprimento finito. Il teorema di Alexander estende tale risultato anche per le prebasi. Ricordiamo che una prebase è una collezione di aperti aperti di tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di sia una base della topologia su . Osserviamo che ogni prebase forma un ricoprimento aperto dello spazio

Enunciato formale e dimostrazione[1][modifica | modifica wikitesto]

Sia uno spazio topologico e una sua prebase. Se ogni ricoprimento di fatto di elementi ammette un sottoricoprimento finito allora è compatto

Procediamo per assurdo: sia non compatto e mostriamo che esiste un ricoprimento di fatto con elementi di che non ammette un sottoricoprimento finito. Per maggiore chiarezza suddividiamo la dimostrazione in due passi

Primo passo[modifica | modifica wikitesto]

Dimostriamo che l'insieme delle sottofamiglie di che ricoprono ma che non ammettono sottoricoprimenti finiti, ordinato con l'inclusione, possiede un elemento massimale . Per l'ipotesi assurda è sicuramente non vuoto. Mostriamo che ogni catena ammette maggiorante, onde l'esistenza dell'elemento massimale è conseguenza del Lemma di Zorn. Sia allora una catena e facciamo vedere che è un maggiorante di : chiaramente, basta solo far vedere che è un elemento di . Se così non fosse, potremmo trovare un sottoricoprimento finito di ; inoltre, possiamo scegliere tali che per ogni . Dato che è una parte totalmente ordinata di , possiamo supporre che sia e avremmo l'assurdo che .

Secondo passo[modifica | modifica wikitesto]

Mostriamo che è un ricoprimento aperto di  : così facendo troveremmo un ricoprimento fatto con elementi della prebase che non ammette sottoricoprimenti finiti, essendo . Per far vedere che è un ricoprimento aperto di bisogna mostrare che per ogni esiste un aperto tale che . Iniziamo ad osservare che esiste un aperto tale che . D'altra parte, è una prebase di sicché possiamo trovare tali che . Se qualche abbiamo finito. Altrimenti per ogni il ricoprimento contiene strettamente e non può appartenere a . Ne discende, per ogni , esiste un sottoricoprimento finito con : si ha poi

Si è così trovato così un sottoricoprimento finito di , che è assurdo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.