Superficie di Steiner

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Animazione della superficie romana

La superficie di Steiner, scoperta dal matematico svizzero Jakob Steiner, è un'immersione auto-intersecante del piano proiettivo reale nello spazio 3-dimensionale, con un inusuale alto grado di simmetria. Questa applicazione non è un'immersione del piano proiettivo; comunque, la figura risultante dalla rimozione di sei punti singolari è una.

La costruzione più semplice è l'immagine di una sfera centrata nell'origine sotto l'azione della funzione f(x,y,z) = (yz,xz,xy). Ciò conduce alla formula implicita:

Inoltre, parametrizzando la sfera in termini di longitudine (θ) e latitudine (φ), si ottengono le seguenti equazioni parametriche per la superficie romana:

x = r2 cos θ cos φ sin φ
y = r2 sin θ cos φ sin φ
z = r2 cos θ sin θ cos2 φ.

L'origine è un punto triplo, e ognuno dei piani xy, yz, xz sono tangenti alla superficie in questo punto. Gli altri siti dell'auto-intersezione sono punti doppi, che definiscono segmenti lungo ciascun asse coordinato che terminano in sei punti di schiacciamento. Il gruppo di simmetria della superficie è quello del tetraedro. Più in particolare, sono proiezioni lineari di una immersione in un spazio a 5 dimensioni, detta superficie di Veronese, che è l'immagine di una sfera regolare centrata nell'origine.

Esistono 10 tipi di superficie di Steiner (classificate da Coffman, Schwartz e Stanton) fra le quali la cross cap e la superficie romana di Steiner, così chiamata poiché Steiner la scoprì durante il suo soggiorno a Roma nel 1836[1].

Una superficie di Steiner è un polinomio quadratico nelle variabili dato superficie nello spazio tridimensionale::

Costruzione: Dato lo spazio proiettivo reale, si considerino le coordinate omogenee nello spazio proiettivo 5-dimensionale, con le coordinate omogenee:

Derivazione della formula implicita[modifica | modifica wikitesto]

Per semplicità considereremo solo il caso per r = 1. Si tracci la sfera individuata dai tre punti (x, y, z) tali che

Applichiamo ora a questi punti la trasformazione T, dove say.

In questo modo, otteniamo che

e perciò , che è la tesi voluta.

Derivazione delle equazioni parametriche[modifica | modifica wikitesto]

La superficie romana è data da:

In coordinate affini abbiamo:

Altre parametrizzazioni dell'equazione sono dati da:


Si consideri ora una sfera di raggio r, longitudine φ, e latitudine θ. Allora le sue equazioni parametriche sono

Ora, applicando la trasformazione T a tutti i punti di questa sfera otteniamo

che sono i punti della Superficie di Steiner. Sìa φ compreso tra 0 e 2π, e θ variabile tra 0 e π/2.

Ciò risulta dalla parametrizzazione della sfera unitaria

sotto la trasformazione

Il cross-cap è dato da:

In coordinate affini:

Relazione col piano proiettivo reale[modifica | modifica wikitesto]

La sfera, prima di essere trasformata, non è omeomorfica col piano proiettivo reale RP2, mentre la sfera centrata sull'origine possiede questa proprietà: vale a dire che, se i punti (x,y,z) appartengono alla sfera, allora anche i punti antipodàli (-x,-y,-z) appartengono alla medesima sfera, ma le due triplette di punti sono differenti e sono situtati su lati opposti rispetto al centro della sfera.

La trasformazione T converte le due triplette di punti antipodali, nel solito punto,

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marco Fulvio Barozzi, Sinisgalli e il Carciopholus romanus, keespopinga.blogspot.it. URL consultato il 13 luglio 2015.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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