Superficie di Steiner

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Animazione della superficie romana

La superficie di Steiner, scoperta dal matematico svizzero Jakob Steiner, è un'immersione auto-intersecante del piano proiettivo reale nello spazio 3-dimensionale, con un inusuale alto grado di simmetria. Questa applicazione non è un'immersione del piano proiettivo; comunque, la figura risultante dalla rimozione di sei punti singolari è una.

La costruzione più semplice è l'immagine di una sfera centrata nell'origine sotto l'azione della funzione f(x,y,z) = (yz,xz,xy). Ciò conduce alla formula implicita:

 x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 - r^2 x y z = 0. \,

Inoltre, parametrizzando la sfera in termini di longitudine (θ) e latitudine (φ), si ottengono le seguenti equazioni parametriche per la superficie romana:

x = r2 cos θ cos φ sin φ
y = r2 sin θ cos φ sin φ
z = r2 cos θ sin θ cos2 φ.

L'origine è un punto triplo, e ognuno dei piani xy, yz, xz sono tangenti alla superficie in questo punto. Gli altri siti dell'auto-intersezione sono punti doppi, che definiscono segmenti lungo ciascun asse coordinato che terminano in sei punti di schiacciamento. Il gruppo di simmetria della superficie è quello del tetraedro. Più in particolare, sono proiezioni lineari di una immersione in un spazio a 5 dimensioni, detta superficie di Veronese, che è l'immagine di una sfera regolare centrata nell'origine.

Esistono 10 tipi di superficie di Steiner, fra le quali la cross cap e la superficie romana di Steiner, così chiamata poiché Steiner la scoprì durante il suo soggiorno a Roma nel 1836[1].

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marco Fulvio Barozzi, Sinisgalli e il Carciopholus romanus. URL consultato il 13 luglio 2015.

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