Successione di divisibilità

In matematica, una successione di divisibilità è una successione di interi ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ tale che per tutti i numeri naturali $m$, $n$,

$m\mid n\ \Rightarrow \ a_{m}\mid a_{n}$.

Ovvero, nel caso in cui un indice sia multiplo di un altro, allora il termine corrispondente sarà multiplo dell'altro termine. Il concetto però può essere generalizzato alle successioni con valori in qualsivoglia anello, nel quale è definito il concetto di divisibilità.

Una forte successione di divisibilità è una successione di interi ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ tale che per tutti i numeri naturali $m$, $n$,

$\operatorname {MCD} (a_{m},a_{n})=a_{\operatorname {MCD} }(m,n)$.

Si noti che una forte successione di divisibilità è anzitutto una successione di divisibilità, infatti:

$m\mid n\ \Rightarrow \ \operatorname {MCD} (m,n)=m$

E per la proprietà della forte divisibilità $\operatorname {MCD} (a_{m},a_{n})=a_{m}$, quindi $a_{m}\mid a_{n}$.

Esempi

• Qualunque successione costante è una forte successione di divisibilità.
• Ogni successione della forma $a_{n}=kn$, per un intero diverso da 0 $k$, è una successione di divisibilità.
• Ogni successione della forma $a_{n}=A^{n}-B^{n}$ per interi $A>B>0$ è una successione di divisibilità.
• La successione di Fibonacci è una forte successione di divisibilità.
• Genericamente, le successioni di Lucas del primo tipo sono successioni di divisibilità.
• Le successioni ellittiche di divisibilità sono un'altra classe di queste successioni.

Bibliografia

• Graham Everest, Alf van der Poorten, Igor Shparlinski, Thomas Ward, Recurrence Sequences, American Mathematical Society, 2003, ISBN 978-0-8218-3387-2.
• Marshall Hall, Divisibility sequences of third order, in Am. J. Math., vol. 58.
• Morgan Ward, A note on divisibility sequences, in Bull. Amer. Math. Soc., vol. 45, n. 4.
• V. E. Hoggatt, Jr., C. T. Long, Divisibility properties of generalized fibonacci polynomials (PDF), in Fibonacci Quarterly.
• J.P. Bézivin, A. Pethö, A full characterization of divisibility sequences, in Am. J. Math., vol. 112, n. 6.
• P. Ingram, J. H. Silverman, Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang, Springer, 2012, pp. 243–271, ISBN 978-1-4614-1259-5.

Voci correlate

• Successione di Fibonacci
• Successione (matematica)
• Massimo comun divisore