Differenze tra le versioni di "Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer"

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piccole riformulazioni. Mi sembra di ricordare che l'analytic rank sia sempre maggiore o uguale dell'algebraic rank cosa che se vera sarebbe da riportare, ma a una veloce ricerca non l'ho trovato scritto da nessuna parte per cui magari mi sbaglio...
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(piccole riformulazioni. Mi sembra di ricordare che l'analytic rank sia sempre maggiore o uguale dell'algebraic rank cosa che se vera sarebbe da riportare, ma a una veloce ricerca non l'ho trovato scritto da nessuna parte per cui magari mi sbaglio...)
Nel [[1922]] [[Louis Mordell]] ha dimostrato il [[teorema di Mordell]], che afferma che il [[Gruppo (matematica)|gruppo]] di punti razionali su una [[curva ellittica]] è finitamente generato. Questo significa che per ogni curva ellittica vi è un [[sottogruppo]] finito di punti razionali della curva, da cui tutti gli altri punti razionali possono essere ottenuti. Se il numero di punti razionali della curva è [[Infinito (matematica)|infinito]], allora almeno un punto della base deve avere ordine infinito.
 
Il numero di generatori del gruppo dei punti razionali è chiamato ''rango'' della curva ellittica, ed è un'importante proprietà di invarianza delle curve ellittiche. Se il rango di una curva ellittica è <math>0</math>, allora la curva ha solo un numero finito di punti razionali. D'altro canto, se il rango della curva è maggiore di <math>0</math>, allora la curva ha un numero infinito di punti razionali. Sebbene il teorema di Mordell mostramostri che il gradorango di una curva ellittica è sempre finito, essi non fornisce un metodo efficace per calcolarecalcolarlo la posizione diper ogni curva. Il rango di alcune curve ellittiche può essere calcolato utilizzando metodi numerici, ma (allo stato attuale delle conoscenze) questi non possono essere generalizzati per gestire tutte le curve.
 
UnaAd funzioneogni Lcurva ellittica <math>L(E,s)</math> si può essere definita perassociare una curvafunzione ellittica[[funzione L]] <math>L(E,s)</math> conattraverso la costruzione di un prodotto di [[Eulero]] utilizzando il numero di punti della curva su un [[campo finito]] di <math>p</math> elementi con <math>p</math> [[Numero primo|primo]]. Questa funzione L è analoga alla [[funzione zeta di Riemann]] e alle [[funzioni L di Dirichlet]] e si tratta di un caso particolare di una funzione L di [[Helmut Hasse|Hasse]]-[[André Weil|Weil]].
 
La definizione di <math>L(E,s)</math> come serie converge solo per valori di <math>s</math> nel [[piano complesso]] con <math>\mathrm{Re}(s)> \frac{3}{2}</math>. [[Helmut Hasse]] ha congetturato che <math>L(E,s)</math> potrebbe essere estesa per [[prolungamento analitico]] in tutto il piano complesso. Questa ipotesi è stata dimostrata da Max Deuring per curve ellittiche con [[moltiplicazione complessa]]. È stato successivamente dimostrato che questo è vero per tutte le curve ellittiche, come una conseguenza del [[Teorema di Taniyama-Shimura|teorema di modularità]].
 
Trovare punti razionali su una generica curva ellittica è un problema difficile. Trovare i punti su una curva ellittica modulo un numero primo <math>p</math> numero primoè invece è concettualmente semplice, in quanto vi sono solo un numero finito di possibilità da controllare. Tuttavia, per grandi numeri primi è computazionalmente faticoso.
 
== Enunciato della congettura ==

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