Ago di Buffon

In statistica, il problema dell'ago di Buffon è una questione posta nel XVIII secolo da Georges-Louis Leclerc conte di Buffon: supponiamo di avere un pavimento in parquet, costituito da strisce di legno parallele, tutte della stessa larghezza, e facciamo cadere un ago sul pavimento. Qual è la probabilità che l'ago si trovi su una linea fra le due strisce?

Utilizzando la geometria integrale il problema può essere risolto e ricondotto a un procedimento del metodo Monte Carlo per ottenere un valore approssimato di π.

Soluzione

L'ago a giace a cavallo di una linea, l'ago b no.

Il problema in termini matematici è: dato un ago di lunghezza $\ell$ lanciato su un piano con linee parallele a distanza $t$, qual è la probabilità che esso intersechi una linea?

Si distinguono due casi, $t\geq \ell$ e $t<\ell$.

Sia $t\geq \ell$, e sia x la distanza del centro dell'ago rispetto alla linea più vicina, e sia θ l'angolo acuto tra l'ago e le linee.

La funzione di densità di probabilità di x fra 0 e t/2 sarà

${\frac {2}{t}}\,dx.$

La funzione di densità di probabilità di θ fra 0 e π/2 sarà

${\frac {2}{\pi }}\,d\theta .$

x e θ sono variabili aleatorie fra loro indipendenti, e quindi la probabilità si fattorizza nel prodotto:

${\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta .$

L'ago attraversa una linea se

$x\leq {\frac {\ell }{2}}\sin \theta .$

Integrando la funzione di densità di probabilità si ottiene la probabilità che l'ago attraversi una linea quando $t\geq \ell$:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{(\ell /2)\sin \theta }{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ={\frac {2\ell }{t\pi }}.$

Per n aghi lanciati con h aghi incidenti sulle linee, la probabilità sarà

${\frac {h}{n}}={\frac {2\ell }{t\pi }},$

dalla quale si può ricavare π:

$\pi ={\frac {2{\ell }n}{th}}.$

Sia ora $t<\ell$. In questo caso, l'integrazione della funzione di densità di probabilità diventa:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{m(\theta )}{\frac {4}{t\pi }}\,dx\,d\theta ,$

dove $m(\theta )$ è il minimo tra $(\ell /2)\sin \theta$ e $t/2$.

Risolvendo l'integrale, si ottiene che la probabilità che l'ago attraversi una linea quando $t<\ell$ è

${\frac {2\ell }{t\pi }}-{\frac {2}{t\pi }}\left\{{\sqrt {\ell ^{2}-t^{2}}}+t\sin ^{-1}\left({\frac {t}{\ell }}\right)\right\}+1.$

La stima di Lazzarini

Il matematico italiano Mario Lazzarini realizzò l'esperimento di Buffon nel 1901. Lanciando un ago 3408 volte, ottenne la nota stima 355/113 per π, che è un valore molto accurato, differendo da π per non più di 3×10⁻⁷. È un risultato impressionante, ma frutto di un trucco.

Lazzarini scelse aghi la cui lunghezza fosse 5/6 della larghezza di una striscia di legno. In queste condizioni, la probabilità che l'ago intersechi le linee vale 5/3π. Quindi se si lanciano n aghi e si ottengono x incroci con le linee, si può stimare π tramite

π ≈ 5/3 · n/x

π è molto vicino a 355/113; in effetti, non c'è approssimazione razionale migliore con meno di cinque cifre nel numeratore e denominatore. Così se si hanno n e x tali che:

355/113 = 5/3 · n/x

o equivalentemente,

x = 113n/213

è possibile ricavare un'approssimazione inaspettatamente buona di π, semplicemente perché la frazione 355/113 è così vicina al valore corretto. Questo si può ottenere facilmente prendendo n multiplo di 213, perché allora 113n/213 è un intero; si lanciano allora n aghi, e si spera di ottenere x = 113n/213 successi.

Se si lanciano 213 aghi e si ottengono 113 successi, si può dichiarare una stima accurata di π fino alla sesta cifra decimale. Altrimenti, si possono fare altri 213 tentativi e sperare in 226 successi; si ripete la procedura fino a quando non si ottiene il risultato desiderato. Lazzarini realizzò 3408 = 213 · 16 tentativi, facendo apparire la propria strategia come una "stima".

Collegamenti esterni

• (EN) Ago di Buffon presso cut-the-knot
• (EN) Sorprese matematiche: l'ago di Buffon presso cut-the-knot
• (EN) MSTE: Ago di Buffon
• (EN) Applet java dell'ago di Buffon
• (EN) Un esperimento