Teorema di Sylvester-Gallai

Il Teorema di Sylvester–Gallai afferma che dato un numero finito superiore a 2 di punti in un piano, allora

1. o tutti i punti sono allineati;
2. o esiste una retta che contiene esattamente due dei punti.

Questo enunciato fu proposto come problema da James Joseph Sylvester nel 1893 e dimostrato da Tibor Gallai nel 1944. Una versione maggiormente quantitativa del teorema è il teorema di Beck. Il teorema di Sylvester-Gallai non è vero per un insieme di infiniti punti: un controesempio piuttosto evidente è fornito dall'insieme ${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {Z}}$.

Dimostrazione del teorema di Sylvester–Gallai

Supponiamo di avere un insieme S contenente un numero finito di almeno 3 punti non tutti allineati. Definiamo retta di connessione per S una retta del piano che contiene almeno due punti della collezione; si tratta di individuare una retta di connessione che contiene esattamente due punti.

Sia l una retta di connessione; poiché i punti di S non sono allineati, in S si trova almeno un punto P che non appartiene a l. Se l contiene esattamente due punti siamo a posto. Altrimenti, sappiamo che l contiene almeno tre punti, che chiamiamo ad esempio A, B e C . Possiamo presupporre senza perdita di generalità che B si trova fra A e C . Poiché gli angoli $\angle ABP$ e $\angle CBP$ sommati valgono 180 gradi, non possono essere entrambi ottusi; possiamo supporre $\angle ABP$ non ottuso (cioè acuto).

Sia ora m retta di connessione di C e P allora m non contiene B. Inoltre, la distanza fra B e m è minore della distanza fra P e l.

Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione l ed un punto P in S - l e abbiamo trovato che aut l contiene esattamente due punti aut esistono un'altra retta di connessione m ed un punto B in S - m tali che la distanza fra B e m è minore della distanza fra P ed l. Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo P ed l con B ed m. Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché il numero di distanze positive possibili fra i punti e le rette di connessione è finito, dato che S è finito. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti. QDD

Generalizzazioni del teorema di Sylvester-Gallai

Mentre il teorema di Sylvester-Gallai garantisce l'esistenza di almeno una retta contenente esattamente 2 punti, non è ancora stata trovata alcuna disposizione di punti con esattamente una retta contenente solo due punti. Ciò portò Gabriel Andrew Dirac a congetturare che, per qualsiasi insieme di $n$ punti, non tutti allineati, esistono almeno $n/2$ rette conteneti esattamente due punti. Attualmente, sono noti due controesempi alla congettura di Dirac: il piano di Fano (7 punti) e la configurazione di McKee (13 punti). Kelly e Moser dimostrarono nel 1958 che esistono almeno 3n/7 rette che contengono esattamente due punti, e nel 1993 Csima e Sawyer hanno dimostrato che, per n > 7, ne esistono almeno 6n/13.

Curiosità

Il problema di Sylvester è stato proposto tra i quesiti del test d'ammissione alla Scuola Normale Superiore per l'anno accademico 2004-2005.

Collegamenti esterni

• Sylvester's Line Problems su MathWorld.

Bibliografia

• Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry, 2nd ed., paragrafi 4.7 e 12.3, New York, Wiley, 1969.