Teoria del primo ordine

Nella logica matematica una teoria del primo ordine è un particolare sistema formale, cioè una teoria formale in cui è possibile esprimere enunciati e dedurre le loro conseguenze logiche in modo del tutto formale e meccanico.

Definizione

Gli elementi che definiscono una teoria del primo ordine sono:

• un alfabeto, ovvero un insieme finito di simboli,
• un linguaggio del primo ordine costituito da un insieme di formule ben formate che rappresentano enunciati di senso compiuto,
• un insieme di assiomi logici, cioè un insieme di formule che esprimono le relazioni logiche relative ai connettivi logici e ai quantificatori,
• un insieme di assiomi propri che stabiliscono alcune relazioni fondamentali tra gli oggetti della teoria non deducibili dagli assiomi logici (come l'assioma "per due punti passa una e una sola retta"),
• un insieme di regole di inferenza che stabiliscono quando una formula è una conseguenza logica di altre formule.

Esempi di teorie del primo ordine sono l'aritmetica di Peano, l'aritmetica di Robinson, la teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel.

Dimostrazioni formali

Una dimostrazione di una formula $\varphi$ in una teoria del primo ordine T è una sequenza ordinata di formule

$(\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n})$

tale che

• $\varphi _{n}=\varphi$
• ogni formula $\varphi _{i}$ o è un assioma di T o è deducibile da una o più formule ad essa precedenti mediante una regola di inferenza.

Una formula che ha una dimostrazione formale in T si dice dimostrabile o derivabile. Se la formula $\varphi$ è dimostrabile in T si usa la notazione

$\vdash _{T}\varphi$

o semplicemente

$\vdash \varphi$

se la teoria di riferimento è evidente dal contesto.

Proprietà sintattiche

Una teoria del primo ordine T si dice:

• sintatticamente completa se per ogni formula $\varphi$ si ha

$\vdash _{T}\varphi$ oppure $\vdash _{T}\neg \varphi$

• sintatticamente consistente (coerente) se non esiste nessuna formula $\varphi$ per cui si ha

$\vdash _{T}\varphi$ e contemporaneamente $\vdash _{T}\neg \varphi$

Voci correlate

• Logica proposizionale
• Completezza
• Consistenza