Teorema di Sylvester-Gallai: differenze tra le versioni

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Versione delle 05:34, 4 mag 2006

IL Teorema di Sylvester–Gallai asserisce che dato un numero finito superiore a 2 di punti in un piano, allora

aut tutti i punti sono allineati;
aut esiste una retta che contiene esattamente due dei punti.

Questo enunciato fu posto come congettura da James Joseph Sylvester nel 1893 e dimostrato da Tibor Gallai nel 1944. Una variante qualitativa del teorema è il teorema di Beck. Il teorema di Sylvester-Gallai non è vero per un insieme di infiniti punti: un controesempio piuttosto evidente è fornito dall'insieme ${\mathbb {Z}}\times {\mathbb {Z}}$ ; un controesempio più ridotto da ${\mathbb {N}}\times {\mathbb {N}}$ .

Dimostrazione del teorema di Sylvester–Gallai

Supponiamo di avere un insieme S contenente un numero finito di almeno 3 punti non allineati. Definiamo retta di connessione per S una retta del piano che contiene almeno due punti della collezione; si tratta di individuare una retta di connessione che contiene esattamente due punti.

Sia l una retta di connessione; poiché i punti di S non sono allineati, in S si trova almeno un punto P che non appartiene a l. Se l contiene esattamente due punti siamo a posto. Altrimenti, sappiamo che l contiene almeno tre punti, che chiamiamo ad esempio A, B e C . Possiamo presupporre senza perdita di generalità che B si trova fra A e C . Poichè gli angoli $\angle ABP$ e $\angle CBP$ sommati valgono 180 gradi, non possono essere entrambi ottusi; possiamo supporre $\angle ABP$ non ottuso (cioè acuto).

Sia ora m retta di connessione di C e P allora m non contiene B. Inoltre, la distanza fra B e m è minore della distanza fra P e l.

Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione l ed un punto P in S - l e abbiamo trovato che aut l contiene esattamente due punti aut esistono un'altra retta di connessione m ed un punto B in S - m tali che la distanza fra B e m è minore della distanza fra P ed l. Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo P ed l con B ed m. Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché il numero di distanze positive possibili fra i punti e le rette di connessione è finito, dato che S è finito. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti. QDD

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-IL '''Teorema di Sylvester–Gallai''' asserisce che dato un numero [[finito]] di punti in un  [[piano]], allora
+IL '''Teorema di Sylvester–Gallai''' asserisce che dato un numero [[finito]] superiore a 2 di punti in un [[piano]], allora
-# Tutti i punti sono allineati; oppure
+# aut tutti i punti sono allineati;
-# Esiste una [[retta]] che contiene esattamente due dei punti.
+# aut esiste una [[retta]] che contiene esattamente due dei punti.
-Questo teorema fu posto come problema da [[James Joseph Sylvester]] nel 1893 e risolto da Tibor Gallai nel 1944. Una variante qualitativa del teorema è il [[Teorema di Beck]]. Il teorema non è vero con [[infiniti]] punti, basta considerare per esempio l'insieme dei punti costituito da  <math>{\Bbb Z} \times {\Bbb Z}</math>.
+Questo enunciato fu posto come congettura da [[James Joseph Sylvester]] nel 1893 e dimostrato da [[Tibor Gallai]] nel 1944. Una variante qualitativa del teorema è il [[teorema di Beck]]. Il teorema di Sylvester-Gallai non è vero per un insieme di [[infiniti]] punti: un controesempio piuttosto evidente è fornito dall'insieme <math>{\Bbb Z} \times {\Bbb Z}</math>; un controesempio più ridotto da <math>{\Bbb N} \times {\Bbb N}</math>.
 == Dimostrazione del teorema di Sylvester–Gallai ==
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 [[Image:Sylvester-Gallai_theorem.png|right]]
-Supponiamo di avere un numero finito di punti non allineati (devono essere almeno tre). Definamo ''retta di connessione'' una retta contiene almeno due punti della collezione;  allora dobbiamo mostrare che retta di connessione contiene ''esattamente'' due punti.
+Supponiamo di avere un insieme ''S'' contenente un numero finito di almeno 3 punti non allineati. Definiamo ''retta di connessione'' per ''S'' una retta del piano che contiene almeno due punti della collezione; si tratta di individuare una retta di connessione che contiene ''esattamente'' due punti.
-Sia ''l'' una retta di connessione, poiché i punti non sono allinati, esiste almeno un punto ''P'' che non appartiene a ''l''.  Se ''l'' contiene esattamente due punti siamo a posto. Altrimenti, sappiamo che ''l'' contiene almeno tre punti, che chiamiamo ad esempio ''A'', ''B'' e ''C ''. Possiamo presupporre senza perdita di generalità che ''B'' si trova fra ''A'' e ''C ''. Poichè gli [[angolo|angoli]] <math>\angle ABP</math> e <math>\angle CBP</math> sommati valgono 180 [[Grado_(unità_di_misura)|gradi]], non possono essere entrambi ottusi; possiamo supporre <math>\angle ABP</math> non ottuso (cioè acuto).
+Sia ''l'' una retta di connessione; poiché i punti di ''S'' non sono allineati, in ''S'' si trova almeno un punto ''P'' che non appartiene a ''l''.  Se ''l'' contiene esattamente due punti siamo a posto. Altrimenti, sappiamo che ''l'' contiene almeno tre punti, che chiamiamo ad esempio ''A'', ''B'' e ''C ''. Possiamo presupporre senza perdita di generalità che ''B'' si trova fra ''A'' e ''C ''. Poichè gli [[angolo|angoli]] <math>\angle ABP</math> e <math>\angle CBP</math> sommati valgono 180 [[Grado_(unità_di_misura)|gradi]], non possono essere entrambi ottusi; possiamo supporre <math>\angle ABP</math> non ottuso (cioè acuto).
 Sia ora ''m'' retta di connessione di ''C'' e ''P '' allora ''m'' non contiene ''B''.  Inoltre, la distanza fra ''B'' e ''m'' è minore della distanza fra ''P'' e ''l''.
-Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione ''l'' ed un punto ''P'' non appartenete alla retta. Allora ''l'' contiene esattamente due punti oppure esiste un'altra retta di connessione ''m'' ed un punto ''B'' non appartenete alla retta tali che la distanza fra ''B'' e ''m'' è minore della distanza fra ''P'' ed ''l''.  Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo a ''P'' ed ''l'' ''B'' e ''m''.  Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché otterremmo una successione di distanze decrescienti ma il numero di distanze possibili fra i punti e le rette di connessione è limitato perché l'insieme originale è stato presupposto per essere limitato. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti soltanto.
+Ricapitolando, abbiamo preso una retta di connessione ''l'' ed un punto ''P'' in ''S'' - ''l'' e abbiamo trovato che aut ''l'' contiene esattamente due punti aut esistono un'altra retta di connessione ''m'' ed un punto ''B'' in ''S'' - ''m'' tali che la distanza fra ''B'' e ''m'' è minore della distanza fra ''P'' ed ''l''.  Nel secondo caso, ripetiamo il procedimento sostituendo ''P'' ed ''l'' con ''B'' ed ''m''.  Non possiamo continuare indefinitamente il procedimento perché il numero di distanze positive possibili fra i punti e le rette di connessione è finito, dato che S è finito. Si ottiene così una retta di connessione contenente esattamente due punti. [[QDD]]
+[[Categoria:Geometria discreta]]
-[[Categoria: Geometria discreta]]
+[[Categoria:Geometria euclidea]]
-[[Categoria: Geometria euclidea]]
+[[Categoria:Teoremi]]
-[[Categoria: Teoremi]]
 [[en:Sylvester–Gallai theorem]]

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Dimostrazione del teorema di Sylvester–Gallai

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