Nella teoria della relatività ristretta, la rapidità (da non confondere con la pseudorapidità) è una grandezza introdotta per poter scrivere le trasformazioni di Lorentz in maniera concisa. Questa grandezza
è definita come:
![{\displaystyle \zeta _{i}={\frac {1}{2}}\ln \left(\displaystyle {\frac {1+\beta _{i}}{1-\beta _{i}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460c339b58f27067b62669584a6fbe18c251001d)
tale che
, con
Definendo come di consuetudine:
![{\displaystyle \gamma =(1-\beta ^{2})^{-{\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8dd71b9c3915e963a98f0be505dc51b9f92db8)
un boost di Lorentz lungo la direzione
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=\gamma \left(x_{0}-\beta x_{1}\right)\\x_{1}^{\prime }=\gamma \left(x_{1}-\beta x_{0}\right)\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\\\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43269f2ec54abc0e2cb625280c13e123d7996230)
usando le relazioni
e
può essere scritto come:
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x_{0}^{\prime }=x_{0}\cosh {\zeta _{1}}-x_{1}\sinh {\zeta _{1}}\\x_{1}^{\prime }=-x_{0}\sinh {\zeta _{1}}+x_{1}\cosh {\zeta _{1}}\\x_{2}^{\prime }=x_{2}\\x_{3}^{\prime }=x_{3}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af16b9db4c8b179ec2e744ee4462fbfa3b0ec56)
che è l'espressione di una rotazione immaginaria. La più generale trasformazione di Lorentz, esprimibile tramite la matrice
, prende la forma
![{\displaystyle \Lambda =e^{-{\vec {\zeta }}\cdot {\vec {K}}-{\vec {\omega }}\cdot {\vec {S}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26450902d3fe370e142e929360cf293e264772ba)
dove
e
.
Le coordinate di
e
sono i generatori del gruppo di Lorentz.
![{\displaystyle S_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}}\right)\quad S_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}}\right)\quad S_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127ed11cec2eab9ee4c6c64f0854f282280ba9f8)
![{\displaystyle K_{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)\quad K_{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9c212b8ea9f6d3ee34fdef7af9d1c65096ad45)
e generano rispettivamente le rotazioni attorno ai tre assi cartesiani, e i boost di Lorentz lungo tali assi. Il restante parametro
ha come coordinate gli angoli di rotazione attorno ai tre assi spaziali.
Un'ultima considerazione riguarda le rapidità di particelle viste in diversi sistemi di riferimento. Se prendiamo in considerazione come parametri per la descrizione del sistema l'impulso e la rapidità della particella si ha:
![{\displaystyle {\tilde {\zeta _{i}}}=\zeta _{i}-Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f93a8749400e6e2425a94be695e17b314e68602)
dove se indichiamo con
un altro sistema di riferimento, con
il sistema di riferimento solidale alla
-esima particella, e se indichiamo
con una freccia una particolare trasformazione di Lorentz abbiamo:
![{\displaystyle k{\stackrel {\zeta _{i}}{\rightarrow }}k_{i}{\stackrel {\tilde {\zeta _{i}}}{\leftarrow }}{\tilde {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8e8e74599147912f85243524f1d3dbeea65e02)
e la
è la rapidità della trasformazione da
a
. Dimostriamolo.
Intanto assegniamo al sistema
i parametri
e
che ne definiscono il moto rispetto a
.
![{\displaystyle \ln \left({\frac {p_{0}+p_{z}}{p_{0}-p_{z}}}\right)=2\zeta \qquad \quad \ln \left({\frac {{\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}}{{\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}}}\right)=2{\tilde {\zeta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebb8a71fd9837fec82079eec64fcdf5c208b458)
![{\displaystyle 2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left[{\frac {({\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z})(p_{0}-p_{z})}{({\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z})(p_{0}+p_{z})}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/806a3c3b38f6bb8f50a0ea2185dda13b511e898a)
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\tilde {p}}_{0}=\Gamma (p_{0}-Bp_{z})\\{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{z}-Bp_{0})\end{array}}\qquad {\mbox{ con }}\Gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-B^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b14bacee7b2979dff276ff42291bf5cab9eab26)
![{\displaystyle {\tilde {p}}_{0}+{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}+p_{z})(1-B)\quad {\mbox{ e }}\quad {\tilde {p}}_{0}-{\tilde {p}}_{z}=\Gamma (p_{0}-p_{z})(1+B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79df12aed5208c624100689953da4054435e9dbc)
quindi
![{\displaystyle 2({\tilde {\zeta }}-\zeta )=\ln \left({\frac {1-B}{1+B}}\right)=\ln \left({\frac {\cosh Z-\sinh Z}{\sinh Z+\cosh Z}}\right)=\ln \left({\frac {e^{-Z}+e^{-Z}}{e^{Z}+e^{Z}}}\right)=\ln e^{-2Z}=-2Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ff8325abc0b2aeb70837b8d5327fded5bc9d21)
La comodità di utilizzare come parametri
e
è quella per cui in due diversi sistemi di riferimento le rapidità delle particelle risultano traslate
di un valore fisso
che rappresenta la rapidità della trasformazione di Lorentz che collega i due sistemi di riferimento.