RP (complessità)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Jump to navigation Jump to search

Nella teoria della complessità computazionale, RP (Randomized Polynomial time, "tempo polinomiale randomizzato") è la classe di complessità dei problemi decisionali eseguiti su una macchina di Turing probabilistica.

Si può inoltre definire una classe molto vicina: co-RP.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Una prima definizione[modifica | modifica wikitesto]

La classe RP è l'insieme dei problemi, o in modo equivalente dei linguaggi, per i quali esiste una macchina di Turing probabilistica in tempo polinomiale che soddisfa le seguenti condizioni di accettazione:

  • Se la parola non è nel linguaggio, la macchina la rifiuta.
  • Se la parola è nel linguaggio, la macchina l'accetta con una probabilità superiore a 1/2.

Si dice che la macchina "sbaglia solo da un lato".

Definizione formale[modifica | modifica wikitesto]

Per un polinomio con dimensione dell'input , si definisce , l'insieme dei linguaggi per i quali esiste una macchina di Turing probabilistica , nel tempo , tale che per ogni parola  :

  • .
  • .

Allora si può definire RP come: .

Il ruolo della costante[modifica | modifica wikitesto]

La costante 1/2 è in realtà arbitraria, si può scegliere qualsiasi numero (costante) tra 0 e 1 (esclusi)[1].

L'idea è che eseguendo il calcolo indipendentemente un numero polinomiale di volte , si può ridurre la probabilità di errore a nel caso in cui (pur conservando una risposta sicura nel caso ).

La classe co-RP[modifica | modifica wikitesto]

La classe co-RP è l'insieme di linguaggi per i quali esiste una macchina di Turing probabilistica in tempo polinomiale che soddisfa le seguenti condizioni di accettazione:

  • Se la parola è nel linguaggio, la macchina l'accetta.
  • Se la parola non è nel linguaggio, la macchina lo rifiuta con una probabilità superiore a 1/2.

(Stessa osservazione per la costante.)

Relazioni con le altre classi[modifica | modifica wikitesto]

Con le classi "classiche"[modifica | modifica wikitesto]

Si ha la relazione seguente con le classi P e NP:

Dimostrazione

Si utilizza la definizione di macchina di Turing probabilistica con nastro casuale.

: basta fare il calcolo della macchina da P (ignorando il nastro casuale); la probabilità di errore è allora nulla nei due casi (appartenenza o no).

: sia M una macchina in tempo polinomiale randomizzata che decide . Si costruisce una macchina M' di NP che prevede un nastro casuale tale che M accetta. Se il nastro previsto fa veramente accettare M, allora M' accetta, altrimenti rifiuta.

Se esiste un nastro "buono", perché M non sbaglia, la parola considerata è in . Reciprocamente, se la parola è in , M accetta con una probabilità di almeno 1/2, cioè M accetta sulla metà dei nastri casuali; esiste dunque almeno un nastro casuale che fa accettare e quindi M' lo prevede e accetta.

Osserviamo che questa classe non è più interessante se P=NP.

Con le altre classi probabilistiche[modifica | modifica wikitesto]

Inclusioni di classi di complessità probabilistiche

Le inclusioni seguenti mettono in gioco le classi ZPP e BPP.

Questo discende direttamente dalle definizioni: ZPP è l'intersezione di RP e di co-RP e BPP con condizioni di accettazione meno stringenti (errore "dai due lati").

Problemi in RP e co-RP[modifica | modifica wikitesto]

Quelli di RP sono problemi per i quali esiste un algoritmo probabilistico che soddisfa le condizioni descritte sopra.

Per esempio il problema di sapere se un numero intero è primo è nella classe di complessità co-RP grazie al test di primalità di Miller-Rabin. Infatti, questo problema è lo stesso in P, grazie al test di primalità AKS.

Un problema di co-RP che non è conosciuto essere in P è il problema della "verifica dell'identià ponomiale" (polynomial identity testing), che consiste, dato un polinomio multivariato sotto una qualsiasi forma, nel decidere se esso è identicamente nullo o no. Grazie al lemma di Schwartz–Zippel, si possono riconoscere i polinomi nulli con una buona probabilità valutandoli in un piccolo numero di punti.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

La classe di complessità RP fu introdotta da John Gill[2] nell'articolo Computational complexity of probabilistic Turing machines (Gill (1977)).

Note[modifica | modifica wikitesto]

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]