Problema delle monete

In matematica, un problema delle monete è ciascuna classe di problemi della forma generale:

Si hanno solo certe monete da utilizzare, diciamo monete da sette-quatloo e da dieci-quatloo (il quatloo è una moneta presente in un episodio di Star Trek). Si possono avere di ciascun taglio quante monete si vogliano; si può fare il cambio esatto per ogni numero di quatloo, oppure si possono avere tutti i numeri da una certa quantità in poi? (Nell'esempio, non c'è modo di fare il cambio di otto quatloos, ma ogni numero più grande di Q53 può essere ottenuto.) Se è possibile, qual è la sua grandezza? (questo bisogno non riguarda solo le monete, ma la stessa domanda può essere posta per francobolli, scatole, o il numero di McNugget).

Se tutte le monete sono un numero pari di quatloos, non si possono fare i cambi esatti per nessun numero dispari di quatloos; questo sarà vero anche se i tagli delle monete hanno come divisore comune tre o numeri più grandi. In un linguaggio più preciso si ha:

Dati n interi positivi:

a_{1},a_{2},\dotsb ,a_{n}

, il cui massimo comun divisore

\operatorname {MCD} (a_{1},\dots ,a_{n})

è 1, trova il più grande numero N che non può essere espresso come

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dotsb +a_{n}x_{n},

per qualche intero non-negativo

x_{1},x_{2},\dotsb ,x_{n}

.

Se il massimo comun divisore non è uguale a 1 allora $N$ non esiste, poiché solo i multipli del MCD possono essere scritti come combinazioni lineari come sopra; ma se il MCD è 1, allora $N$ esiste. Il numero più grande trovato è chiamato a volte numero di Frobenius, mentre l'equazione Diofantea

b=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dotsb +a_{n}x_{n}

è a volte chiamata equazione di Frobenius.

Soluzioni[modifica | modifica wikitesto]

Il problema delle monete è stato risolto per $n=1,2$ . Nessuna soluzione in forma chiusa è conosciuta per $n>2$ .

n = 1[modifica | modifica wikitesto]

Se $n=1$ , allora a meno che $a_{1}=1$ , ci saranno infiniti numeri di interi positivi m che non potranno essere espressi come $m=a_{1}x_{1}$ (quelli che non sono divisibili per $a_{1}$ ).

n = 2[modifica | modifica wikitesto]

Se $n=2$ , il numero di Frobenius può essere trovato dalla formula $b=a_{1}a_{2}-a_{1}-a_{2}$ . Tale formula fu scoperta da James Joseph Sylvester nel 1884.