Primo fattoriale

Un primo fattoriale è un numero primo che differisce di 1 da un fattoriale, cioè è della forma $n!-1$ ^[1] oppure $n!+1$ ^[2]. I più piccoli primi fattoriali sono:

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199.

I primi fattoriali sono interessanti per i teorici dei numeri perché delimitano sequenze di numeri composti di lunghezza arbitraria. Infatti, per ogni numero naturale $n>1,$ tutti i numeri da $n!+2$ a $n!+n$ (estremi inclusi) sono composti. Tuttavia, non è detto che $n!+1,$ per ogni $n!$ sia primo fattoriale. Non sono però minimali, ad esempio i 13 numeri della sequenza da 114 a 126 sono non primi^[3], ma $13!+1=6227020801.$

A gennaio 2022 i più grandi primi fattoriali conosciuti dei due tipi sono $208003!-1$ (1015843 cifre scoperto nel luglio 2016 da Sou Fukui) e $422429!+1$ (2193027 cifre scoperto nel febbraio 2022 da Ryan Propper).^[4] Si congettura che esistano infiniti numeri primi fattoriali (di entrambe le forme).