Predicato funzionale

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In logica matematica, per predicato funzionale o formula funzionale o simbolo funzionale in x si intende un predicato \Phi(x,y), in cui le variabili x ed y occorrono libere, avente la seguente proprietà:

\forall x\Bigl(\exists y\bigl(\Phi(x,y)\bigr) \Rightarrow \forall z\bigl(\Phi(x,z) \Rightarrow (z=y)\bigr)\Bigr).

In altri termini, fissata una variabile x della teoria o non esiste alcuna variabile y della teoria che verifica il predicato \Phi oppure, se esiste una variabile y che, insieme ad x verifica \Phi, allora ogni altra variabile z che verifica \Phi è necessariamente uguale ad y. In altra maniera, fissata una generica variabile x, esiste al più una variabile y (ossia o non ne esiste alcuna oppure, se ne esiste una, allora ne esiste una sola) che verifica il predicato \Phi.

In maniera equivalente, un predicato \Phi(x,y) in cui le variabili x ed y occorrono libere è funzionale in x se \forall x\forall y\forall z\Bigl(\bigl(\Phi(x,y)\wedge\Phi(x,z)\bigr) \Rightarrow (y=z)\Bigr).

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