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Ottaedro iperbolico.
L'ottaedro iperbolico è un poliedro iperbolico. È un caso particolare di ellissoide astroidale.
Le sue equazioni parametriche sono:
![{\displaystyle x=\left(\cos \phi \cos \theta \right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f762c4587f64dbeb6171ab962b2a55def329e13)
![{\displaystyle y=\left(\sin \phi \cos \theta \right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c161135f546150f4f60bc282078234923b64cc)
![{\displaystyle z=\left(\sin \theta \right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b3e983d8475267929f962bac5555ab28e93bcd)
con
L'equazione cartesiana è:
![{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}=1{\frac {}{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66762615eef0fa7f705ca74562707b97ec3086fc)
L'elemento infinitesimale di area è:
![{\displaystyle dA=|\sin(\phi )||\sin(\theta )|\cos(\phi )\cos(\theta )^{4}{\sqrt {9-2\cos(4\phi )\cos(\theta )^{2}-7\cos(2\theta )}}d\phi d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0424e020d084198572da2bf96f3043420c49a9f0)
da cui:
![{\displaystyle A={\frac {17}{12}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e149d6204c8e2706280e13bcfb52e75c19c1512)
La sua curvatura gaussiana è:
![{\displaystyle K={\frac {{\text{sec}}(\theta )^{4}}{9\left({\text{cos}}(\phi )^{2}{\text{cos}}(\theta )^{2}{\text{sin}}(\phi )^{2}+{\text{sin}}(\theta )^{2}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17019d2fce86c278f9d7c129736e828c1e445c3c)
La curvatura media, invece è
.