Il modello di Hodgkin-Huxley è un modello matematico che descrive il processo di depolarizzazione della membrana cellulare . Storicamente questo è stato il primo modello creato per descrivere questo processo, per il quale i suoi scopritori, i fisiologi Alan Lloyd Hodgkin e Andrew Huxley , hanno vinto il Premio Nobel per la Fisiologia nel 1963. Questo modello è stato dedotto da numerose osservazioni sperimentali utilizzando gli assoni giganti dei calamari .
Di seguito sono riportate le equazioni che lo definiscono:
{
a
R
i
∂
2
v
(
z
,
t
)
∂
z
2
=
C
m
∂
v
(
z
,
t
)
∂
t
+
(
v
(
z
,
t
)
+
V
N
a
)
g
N
a
(
v
)
+
(
v
(
z
,
t
)
−
V
K
)
g
K
(
v
)
+
(
v
(
z
,
t
)
−
V
L
)
g
L
g
K
=
g
K
¯
n
(
v
,
t
)
4
d
n
(
v
,
t
)
d
t
=
α
n
[
1
−
n
(
v
,
t
)
]
−
β
n
n
(
v
,
t
)
α
n
=
f
α
n
v
+
V
α
n
e
v
+
V
α
n
V
α
n
−
1
β
n
=
f
β
n
e
v
V
β
n
g
N
a
=
g
N
a
¯
m
(
v
,
t
)
3
h
(
v
,
t
)
d
m
(
v
,
t
)
d
t
=
α
m
[
1
−
m
(
v
,
t
)
]
−
β
m
m
(
v
,
t
)
d
h
(
v
,
t
)
d
t
=
α
h
[
1
−
h
(
v
,
t
)
]
−
β
h
h
(
v
,
t
)
α
m
=
f
α
n
v
+
V
α
m
1
e
v
+
V
α
m
1
V
α
m
2
−
1
β
m
=
f
β
m
e
v
V
β
m
α
h
=
f
α
h
e
v
V
α
h
β
h
=
f
β
h
1
e
v
+
V
β
m
1
V
β
m
2
+
1
{\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}{\displaystyle {\frac {a}{R_{i}}}{\frac {\partial ^{2}v(z,t)}{\partial z^{2}}}=C_{m}{\frac {\partial v(z,t)}{\partial t}}+\left(v(z,t)+V_{Na}\right)\ g_{Na}(v)+\left(v(z,t)-V_{K}\right)\ g_{K}(v)+\left(v(z,t)-V_{L}\right)\ g_{L}}\\\\{\displaystyle g_{K}={\overline {g_{K}}}\ n(v,t)^{4}}\\\\{\displaystyle {\frac {d\ n(v,t)}{dt}}=\alpha _{n}\left[1-n(v,t)\right]-\beta _{n}\ n(v,t)}\\\\{\displaystyle \alpha _{n}=f_{\alpha _{n}}\ {\frac {v+V_{\alpha _{n}}}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\alpha _{n}}}{V_{\alpha _{n}}}}-1}}}\\\\{\displaystyle \beta _{n}=f_{\beta _{n}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\beta _{n}}}}}\\\\g_{Na}={\overline {g_{Na}}}\ m(v,t)^{3}\ h(v,t)\\\\{\frac {d\ m(v,t)}{dt}}=\alpha _{m}\left[1-m(v,t)\right]-\beta _{m}\ m(v,t)\\\\{\frac {d\ h(v,t)}{dt}}=\alpha _{h}\left[1-h(v,t)\right]-\beta _{h}\ h(v,t)\\\\\alpha _{m}=f_{\alpha _{n}}\ {\frac {v+V_{\alpha _{m1}}}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\alpha _{m1}}}{V_{\alpha _{m2}}}}-1}}\\\\\beta _{m}=f_{\beta _{m}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\beta _{m}}}}\\\\\alpha _{h}=f_{\alpha _{h}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\alpha _{h}}}}\\\\\beta _{h}=f_{\beta _{h}}\ {\frac {1}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\beta _{m1}}}{V_{\beta _{m2}}}}+1}}\end{cases}}}}
Le costanti valgono:
g
K
¯
=
24.31
mS
cm
−
2
{\displaystyle {\overline {g_{K}}}=24.31{\text{mS}}\ {\text{cm}}^{-2}}
f
α
n
=
0.01
s
−
1
{\displaystyle \ f_{\alpha _{n}}=0.01\ {\text{s}}^{-1}}
V
α
n
=
10
mV
{\displaystyle \ V_{\alpha _{n}}=10\ {\text{mV}}}
f
β
n
=
0.125
s
−
1
{\displaystyle \ f_{\beta _{n}}=0.125\ {\text{s}}^{-1}}
V
β
n
=
10
mV
{\displaystyle \ V_{\beta _{n}}=10\ {\text{mV}}}
n
0
=
0.316
mV
{\displaystyle \ n_{0}=0.316\ {\text{mV}}}
V
K
=
12
mV
{\displaystyle \ V_{K}=12\ {\text{mV}}}
f
α
m
=
0.1
s
−
1
{\displaystyle \ f_{\alpha _{m}}=0.1\ {\text{s}}^{-1}}
V
α
m
1
=
25
mV
{\displaystyle \ V_{\alpha _{m1}}=25\ {\text{mV}}}
V
α
m
2
=
10
mV
{\displaystyle \ V_{\alpha _{m2}}=10\ {\text{mV}}}
f
β
m
=
4
s
−
1
{\displaystyle \ f_{\beta _{m}}=4\ {\text{s}}^{-1}}
V
β
m
=
18
mV
{\displaystyle \ V_{\beta _{m}}=18\ {\text{mV}}}
f
α
h
=
0.07
s
−
1
{\displaystyle \ f_{\alpha _{h}}=0.07\ {\text{s}}^{-1}}
V
α
h
=
20
mV
{\displaystyle \ V_{\alpha _{h}}=20\ {\text{mV}}}
f
β
h
=
1
s
−
1
{\displaystyle \ f_{\beta _{h}}=1\ {\text{s}}^{-1}}
V
β
m
1
=
30
mV
{\displaystyle \ V_{\beta _{m1}}=30\ {\text{mV}}}
V
β
m
2
=
10
mV
{\displaystyle \ V_{\beta _{m2}}=10\ {\text{mV}}}
g
N
a
¯
=
70.7
mS
cm
−
2
{\displaystyle {\overline {g_{Na}}}=70.7{\text{mS}}\ {\text{cm}}^{-2}}
h
0
=
0.607
{\displaystyle \ h_{0}=0.607}
m
0
=
0
{\displaystyle \ m_{0}=0}
V
N
a
=
115
mV
{\displaystyle \ V_{Na}=115\ {\text{mV}}}
C
m
=
1
μ
F
cm
−
2
{\displaystyle \ C_{m}=1\ \mu {\text{F}}\ {\text{cm}}^{-2}}
V
L
=
−
10.61
mV
{\displaystyle \ V_{L}=-10.61\ {\text{mV}}}
g
L
=
0.3
mS
cm
−
2
{\displaystyle \ g_{L}=0.3\ {\text{mS}}\ {\text{cm}}^{-2}}
R
i
=
35.4
Ω
cm
−
2
{\displaystyle \ R_{i}=35.4\ \Omega \ {\text{cm}}^{-2}}
a
=
238
⋅
10
−
4
cm
{\displaystyle \ a=238\cdot 10^{-4}\ {\text{cm}}}
La complessità di questo modello è tale da non consentirne una risoluzione analitica. Finora è stato studiato con successo grazie a numerose simulazioni numeriche confrontate con i dati sperimentali.
Una notevole semplificazione del modello di Hodgkin e Huxley è quello di FitzHugh-Nagumo .
Ultimamente un nuovo modello termodinamico è soggetto di molte attenzioni per il suo valore sperimentale, il modello del solitone , che spiega molti dei fenomeni non trattati dal modello di Hodgkin e Huxley, come per esempio il cambio di temperatura con scambio netto 0 al passaggio dell'impulso elettrico e il cambiamento di densità della membrana cellulare.
(EN Potenziale d'azione PDF sfn.org . URL consultato il 18 aprile 2012 (archiviato dall'url originale l'11 febbraio 2012) . Christof J Schwiening, A brief historical perspective: Hodgkin and Huxley The Journal of Physiology , vol. 590, Pt 11, 1º giugno 2012, pp. 2571–2575, DOI :10.1113/jphysiol.2012.230458 . URL consultato il 20 gennaio 2018 . (EN Propagation of electrical signals along giant nerve fibres Proc. R. Soc. Lond. B , vol. 140, n. 899, 16 ottobre 1952, pp. 177–183, DOI :10.1098/rspb.1952.0054 . URL consultato il 22 gennaio 2018 . A. L. Hodgkin e A. F. Huxley, Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of Loligo The Journal of Physiology , vol. 116, n. 4, April 1952, pp. 449–472. URL consultato il 22 gennaio 2018 . A. L. Hodgkin e A. F. Huxley, The components of membrane conductance in the giant axon of Loligo The Journal of Physiology , vol. 116, n. 4, April 1952, pp. 473–496. URL consultato il 22 gennaio 2018 . A. L. Hodgkin e A. F. Huxley, The dual effect of membrane potential on sodium conductance in the giant axon of Loligo The Journal of Physiology , vol. 116, n. 4, April 1952, pp. 497–506. URL consultato il 22 gennaio 2018 . (EN A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve The Journal of Physiology , vol. 117, n. 4, 28 agosto 1952, pp. 500–544, DOI :10.1113/jphysiol.1952.sp004764 . URL consultato il 18 gennaio 2018 . 
![{\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}{\displaystyle {\frac {a}{R_{i}}}{\frac {\partial ^{2}v(z,t)}{\partial z^{2}}}=C_{m}{\frac {\partial v(z,t)}{\partial t}}+\left(v(z,t)+V_{Na}\right)\ g_{Na}(v)+\left(v(z,t)-V_{K}\right)\ g_{K}(v)+\left(v(z,t)-V_{L}\right)\ g_{L}}\\\\{\displaystyle g_{K}={\overline {g_{K}}}\ n(v,t)^{4}}\\\\{\displaystyle {\frac {d\ n(v,t)}{dt}}=\alpha _{n}\left[1-n(v,t)\right]-\beta _{n}\ n(v,t)}\\\\{\displaystyle \alpha _{n}=f_{\alpha _{n}}\ {\frac {v+V_{\alpha _{n}}}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\alpha _{n}}}{V_{\alpha _{n}}}}-1}}}\\\\{\displaystyle \beta _{n}=f_{\beta _{n}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\beta _{n}}}}}\\\\g_{Na}={\overline {g_{Na}}}\ m(v,t)^{3}\ h(v,t)\\\\{\frac {d\ m(v,t)}{dt}}=\alpha _{m}\left[1-m(v,t)\right]-\beta _{m}\ m(v,t)\\\\{\frac {d\ h(v,t)}{dt}}=\alpha _{h}\left[1-h(v,t)\right]-\beta _{h}\ h(v,t)\\\\\alpha _{m}=f_{\alpha _{n}}\ {\frac {v+V_{\alpha _{m1}}}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\alpha _{m1}}}{V_{\alpha _{m2}}}}-1}}\\\\\beta _{m}=f_{\beta _{m}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\beta _{m}}}}\\\\\alpha _{h}=f_{\alpha _{h}}\ {\text{e}}^{\frac {v}{V_{\alpha _{h}}}}\\\\\beta _{h}=f_{\beta _{h}}\ {\frac {1}{{\text{e}}^{\frac {v+V_{\beta _{m1}}}{V_{\beta _{m2}}}}+1}}\end{cases}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6477976b60d281f6929faeb67fcb09047eee77b0)
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