Scala pitagorica
Template:Stub musica Il temperamento pitagorico è il sistema musicale (di uso comune fino al XVI secolo) basato sull'osservazione degli allievi della scuola pitagorica che dividendo una corda in frazioni intere facendola vibrare, si ottenevano dei suoni armonici.
Questi armonici corrispondono ai possibili modi naturali di vibrazione di una corda e gli intervalli tra di loro vanno via via restringendosi (e diminuendo di intensità, ovvero ampiezza di vibrazione) quanto più si procede nella serie.
Se una corda di lunghezza L emette un Do (primo armonico), la stessa corda vibra con meno intensità anche a frequenza doppia (pari alla lunghezza L/2, secondo armonico), emettendo un Do all'ottava superiore.
La frazione superiore L/3 porta ad un Sol (una quinta sopra, terzo armonico), L/4 ad un altro un Do, due ottave sopra (quarto armonico), L/5 infine un Mi (una quarta sopra, quinto armonico). Questi suoni compongono l’accordo di Do maggiore, e non è un caso che questo suoni bene all’orecchio perché è l’insieme di questi armonici che vengono percepiti naturalmente dall’orecchio.
Si può affermare che l'intervallo più naturale dopo l’ottava sia la quinta (e segue poi la terza) perché sono sottomultipli piccoli.
Essendo la frequenza inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda, e facendo un po’ di conti (salendo di quinta e scendendo di ottava) si ottiene la cosiddetta scala dei rapporti semplici, che mostra il rapporto tra la frequenza delle note di una scala in rapporto alla prima (in questo caso Do):
| Do | 1 |
| Re | 9/8 |
| Mi | 5/4 |
| Fa | 4/3 |
| Sol | 3/2 |
| La | 5/3 |
| Si | 15/8 |
| Do | 2 |
Per esempio per arrivare dal Fa al Do (una quinta) si moltiplica per 3/2. Ricalcolando la quinta di un Sol si ottiene un Re all'ottava sopra di frequenza in rapporto 9/4 e scendendo di un ottava (dividendo per due) si ottiene proprio 9/8.
Il problema del temperamento
Se partiamo da un Mib di frequenza X e saliamo di 3/2 costruendo 12 quinte:
Mib -> Sib -> Fa’ -> Do’ -> Sol’’ -> Re’’ -> La ->Mi -> Si -> Fa# -> Do# -> Sol# -> Re#
il Re# finale (7 ottave sopra al Mib di partenza) avrà una frequenza pari a:
(3/2)^12 X =129,683 X
Ma se saliamo di ottave costruendo il Mib con multipli di 2 la frequenza finale è:
2^7 X = 128 X
che è lievemente più basso del Re# (e infatti si tratta di un Mib non Omofono (musica) del Re#). La dodicesima quinta (chiamata anche "quinta del lupo"), sarà dissonante e nel circolo delle quinte si produce una “frattura”, chiamata comma pitagorico, pari a:
(3/2)^12 : 2^7 = 3^12 / 2^19 = 1,0131
A causa di questa impossibilità di avere contemporaneamente pure tutte le ottave, tutte le quinte e tutte le terze deriva la necessità di scendere ad un compromesso, cioè ad un temperamento che può essere attuato in infiniti modi diversi. La soluzione del temperamento pitagorico, di fatto la più antica, consiste nel lasciare le cose come sono, ovvero il sistema si compone di undici quinte pure più una quarta più che eccedente (il lupo).
Ma in questo modo per esempio una certa melodia non può essere suonata partendo da un qualunque grado della stessa scala. Per esempio un tema che comnicia con le due note Do e Re (rapporto 9/8) non si può suonare un tono sopra (Re e Mi) visto che il rapporto diventa: (5/4)/(9/8) = 10/9, che è diverso (anche se simile) a 9/8. Tale problema sarà risolto (mediante compromessi) dal temperamento equabile.