Macchina di Atwood

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Illustrazione del 1905 della macchina di Atwood.
Diagramma di corpo libero della macchina di Atwood.

La macchina di Atwood è stata inventata nel 1784 da George Atwood come un esperimento di laboratorio per verificare le leggi del moto uniformemente accelerato.

La macchina di Atwood è semplicemente una carrucola ideale: essa è costituita da due oggetti di massa e connessi da un filo inestensibile di massa trascurabile posto sopra una carrucola priva di massa. In questo modo è possibile studiare il rapporto tra forza peso, massa e accelerazione.

Quando la macchina si trova in equilibrio, in quanto la somma delle forze agenti è nulla, mentre quando una delle due masse è maggiore dell'altra (ad esempio ) i due oggetti subiscono un'accelerazione causata dalla differenza fra le due masse.

Equazioni del moto[modifica | modifica wikitesto]

A questo punto è possibile ricavare l'equazione del moto dei due corpi. Se consideriamo un filo inestensibile privo di massa e una carrucola priva di attrito le uniche forze da tenere in conto sono la tensione del filo e la forza peso delle masse . Per trovare la somma delle forze dobbiamo considerare le forze agenti sulle singole masse.

Sul corpo la forza agente sarà:

Sul corpo la forza agente sarà:

La somma delle forze applicate al sistema risulterà essere uguale a

Usando la seconda legge di Newton possiamo ricavare l'equazione del moto:

Poiché

e

si ottiene

Viceversa, l'accelerazione di gravità può essere trovata misurando lo spostamento dei pesi, e calcolando quindi l'accelerazione uniforme, secondo la relazione

Equazione della tensione[modifica | modifica wikitesto]

Dopo aver ricavato il valore dell'accelerazione è possibile trovare il valore della tensione del filo. Per fare ciò si sostituisce il valore di in una delle due equazioni iniziali delle forze.

Sostituendo l'accelerazione nell'equazione , si ottiene:

La tensione può essere trovata ugualmente dall'equazione

Caso della carrucola di massa non trascurabile[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui la carrucola abbia una massa non trascurabile rispetto a quelle dei due pesi, possiamo usufruire delle equazioni della dinamica rotazionale per determinare in modo più generale l'accelerazione delle due masse e la tensione della corda. Definiti il momento totale delle forze agenti sulla carrucola, la massa e il raggio della carrucola stessa:

Dove è il momento d'inerzia e è l'accelerazione angolare.

Approssimando la carrucola ad un disco solido e sottile, il suo momento d'inerzia risulta , sostituendo in si ottiene:

Si sommano membro a membro le equazioni del moto delle due masse:

Quindi, sostituendo e proseguendo:

E quindi:

Da questa equazione è evidente che se si avvicina a zero si ricade nel caso particolare della carrucola con massa trascurabile.

Dalla definizione di accelerazione dei due corpi nel caso in cui la carrucola abbia massa non trascurabile si giunge alla definizione di tensione agente sui corpi sostituendo in una qualsiasi delle due equazioni oppure l'accelerazione appena trovata. Il risultato è

Anche in questo caso è evidente che se la carrucola è molto piccola, si ricade nel caso della carrucola con massa trascurabile.

Casi delle masse poggiate su piani inclinati[modifica | modifica wikitesto]

Equazioni per una carrucola senza attrito[modifica | modifica wikitesto]

Possiamo modificare ulteriormente il problema ponendo che le due masse siano poggiate su due diversi piani inclinati senza attrito. Definito l'angolo fra il terreno e il piano su cui è poggiato il primo corpo e l'angolo fra il terreno e il piano su cui poggia il secondo, allora:

Il procedimento per trovare i valori di accelerazione e tensione è lo stesso che abbiamo usato prima nel caso della carrucola di massa non trascurabile. L'unica cosa a cui si deve porre attenzione sono le forze che esercitano un momento sulla carrucola: bisogna tenere presente che la corda, e quindi i due vettori delle tensioni, sono inclinati di un angolo uguale a per il primo corpo e di un angolo pari a per il secondo rispetto alla verticale. Quindi le forze che imprimono un momento sulla carrucola sono:

e


Seguendo gli stessi passaggi di prima, si ottengono:

e

Si noti anche in questo caso come, se e sono entrambi uguali a (ovvero se le due masse non sono appoggiate ad alcun piano inclinato e quindi cadono verso il basso), si ricada nei casi precedenti, mentre se e sono entrambi uguali a (ovvero se i due corpi sono appoggiati per terra sullo stesso livello), l'accelerazione e la tensione siano nulle.


Adesso rendiamo il problema ancora più realistico inserendo l'attrito fra le masse e i piani inclinati. Definiamo e i coefficienti d'attrito cinetico fra i due corpi e i rispettivi piani; questa volta le equazioni iniziali del moto delle due masse sono:


Seguendo gli stessi passaggi che abbiamo seguito prima, si conclude che:


e che:

Anche in questo caso ponendo e uguali a zero ci si riconduce al caso precedente.

Equazioni per una carrucola con attrito[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui la carrucola non sia priva d'attrito, ma allo stesso tempo la differenza delle due masse non sia troppo piccola, l'equazione dell'accelerazione verrà modificata con l'aggiunta di un termine che rappresenta la forza d'attrito. Con questa approssimazione l'equazione del moto risulterà essere uguale a

Se invece la differenza tra le due masse è ridotta, non si può trascurare il momento d'inerzia della carrucola di raggio . L'espressione dell'accelerazione angolare della carrucola è data dalla seguente relazione

In questo caso il momento totale del sistema diventa

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro e Cesare Voci, Fisica Volume I, Edises, 1991, ISBN 88-7959-137-1.

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