Interpolazione di Lagrange

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In analisi numerica l'interpolazione di Lagrange è un particolare tipo di interpolazione polinomiale, fu scoperta per la prima volta da Edward Waring nel 1779 e dopo riscoperta da Leonhard Euler nel 1783.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Data una funzione e punti per cui sono noti i valori si definisce il polinomio interpolatore di Lagrange della funzione il polinomio

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni si ha e per qualsiasi si ha

dove è un valore incognito funzione di appartenente all'intervallo minimo a cui appartengono i punti e .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per semplicità scriviamo

per cui

dove

ora abbiamo che per ogni accade che poiché l'espressione di contiene un fattore a numeratore, del resto per ogni da cui .

Adesso consideriamo la funzione

quando , essa ha zeri nei punti e , derivando volte

Dall'applicazione del teorema di Rolle per volte la funzione ha almeno uno zero nell'intervallo minimo che contiene e .

Sappiamo che è un polinomio di grado il cui coefficiente di è 1, per cui , invece è un polinomio di grado per cui , infine

da cui

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]