Informazione mutua puntuale

L'informazione mutua puntuale (IMP) (pointwise mutual information, PMI) (o informazione mutua specifica) è una misura di associazione usata nella teoria dell'informazione e nella statistica.

L'IMP di un paio di esiti x e y appartenenti a variabili casuali discrete quantifica la discrepanza tra la probabilità della loro coincidenza data la loro distribuzione congiunta, rispetto alla probabilità della loro coincidenza date soltanto le loro distribuzioni individuali e assumendo l'indipendenza delle variabili. Matematicamente,

$SI(x,y)=\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}}.$

L'informazione mutua di X e Y è il valore atteso dell'informazione mutua specifica di tutti i possibili esiti.

La misura è simmetrica ($SI(x,y)=SI(y,x)$). È zero se X e Y sono indipendenti, ed uguale a -log(p(x)) se X e Y sono perfettamente associate. Infine, $SI(x,y)$ aumenterà se p(x|y) è fissa, ma p(x) diminuisce. Può assumere valori sia negativi che positivi.

Ecco un esempio per illustrare:

x	y	p(x,y)
0	0	0,1
0	1	0,7
1	0	0,15
1	1	0,05

Usando questa tabella possiamo marginalizzare per ottenere la seguente tabella di addizioni

	p(x)	p(y)
0	0,8	0,25
1	0,2	0,75

Con questo esempio, possiamo calcolare quattro valori per SI(x,y). (Assumendo log in base 2)

SI(0,0)	-1
SI(0,1)	0,222392421
SI(1,0)	1,584962501
SI(1,1)	-1,584962501

(Per riferimento la mutua informazione MI(X,Y) sarebbe allora 0,214170945)

Misure puntuali collegate

Analogamente all'IMP, si può anche definire la divergenza di Kullback-Leibler puntuale, $PD_{KL}$:

$PD_{KL}[X\|Y;x,y]=\log {\frac {p(X=x)}{p(Y=y)}}.$

Collegamenti esterni

• (EN) Demo sul Rensselaer MSR Server (valori della IMP normalizzati per essere tra 0 e 1)