Funzione di Thomae

Grafico a punti della funzione su (0,1)

La funzione di Thomae, da Carl Johannes Thomae, ha molti nomi, come la funzione popcorn, la funzione di Dirichlet modificata e la funzione Riemann. Questa funzione a valori reali è definita come

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}},&{\text{se }}x={\tfrac {p}{q}}{\text{ razionale e ridotta ai minimi termini con }}p\in \mathbb {Z} {\text{ e }}q>0,\\1,&x=0,\\0,&{\text{se }}x{\text{ irrazionale.}}\end{cases}}$

È una variante della funzione di Dirichlet, che vale 1 sui razionali e 0 per gli altri valori.

Discontinuità sui razionali

La funzione popcorn ha un insieme complicato di discontinuità: $f$ è continua su tutti i numeri irrazionali e discontinua su tutti i numeri razionali.

La verifica della discontinuità può essere fatta utilizzando la continuità sequenziale, posto $x_{\infty }={p \over q}\in \mathbb {Q}$ e $\xi \not \in \mathbb {Q}$, si costruisce la successione

$x_{n}=\left\{x_{\infty }+{\xi \over n}\right\}.$

Essa è tale da verificare le due seguenti proprietà:

$x_{n}\not \in \mathbb {Q} \;\forall n\in \mathbb {N} ,$

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x_{\infty }.$

E come si vede fornisce un esempio di successione che non rispetta la condizione di continuità sequenziale in quanto. per essa si ha:

$\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }0=0\not ={1 \over q}=f(x_{\infty }).$

Continuità sugli irrazionali

Ricordiamo che, per definizione, una funzione è continua in un punto se:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x:|x_{0}-x|<\delta \Rightarrow |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon .$

Sia dunque $x_{0}\not \in \mathbb {Q} ,$ non è difficile convincersi che la seguente definizione di intorno risolve il problema:

$\delta :={1 \over 2}\min \left\{|x-x_{0}|,x:f(x)\geq \varepsilon \right\}.$

Si osservi che, con questa definizione, si devono provare concettualmente tutti gli infiniti numeri della retta reale, selezionare gli infiniti candidati idonei e, successivamente selezionare tra gli infiniti candidati quell'unico che rende vera la condizione di minimo.

Tutto ciò è fattibile utilizzando l'assioma della scelta ma il ricorso a tale assioma non è strettamente necessario.

Diamo anche la seguente definizione costruttiva: questo significa che descriveremo un procedimento che, assegnati $\varepsilon$ e $x_{0}$, consente con un numero finito di passaggi, di esibire un $\delta$ che verifichi la relazione sopra.

Per prima cosa conviene definire l'intero non negativo:

${\bar {\varepsilon }}:=\left\lfloor {1 \over \varepsilon }\right\rfloor ,$

dove con il simbolo $\lfloor \cdot \rfloor$ si indica la funzione parte intera. Definiamo allora il seguente sottoinsieme sui razionali:

$\mathbb {Q} (\varepsilon )=\left\{{p \over q}{\text{ con }}p,q\in \mathbb {N} {\text{ e tali che }}p\leq q\leq {\bar {\varepsilon }}\right\},$

cioè l'insieme di tutte le frazioni minori di 1 con denominatore non più grande di ${\bar {\varepsilon }}$. Non è difficile dimostrare che tale insieme è finito, partendo da esso possiamo definire:

$\delta :={1 \over 2}\min \left\{|x_{0}-\lfloor x_{0}\rfloor -x|,x\in \mathbb {Q} (\varepsilon )\right\},$

che è equivalente alla definizione data prima con l'assioma della scelta ma, richiedendo stavolta un numero finito di controlli per essere determinata, è costruttiva.

Integrabilità

Contrariamente alla funzione indicatrice dei numeri razionali in $[0,1]$, la funzione di Thomae risulta Riemann-integrabile su tale intervallo e con integrale nullo. Preso infatti un numero naturale $n\geq 2$ e considerati i numeri razionali $\alpha ={\frac {p}{q}}\in [0,1]$ con $\gcd(p,q)=1$ e $q\leq n$, gli intervalli chiusi $I_{\alpha }$ centrati in $\alpha$ e aventi raggio ${\frac {4}{n^{2}}}$ ricoprono $\left[{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right]$. Tali intervalli possono essere opportunamente ristretti in modo da produrre una partizione di $\left[{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right]$ in intervalli di ampiezza $\leq {\frac {8}{n^{2}}}$, e la somma di Riemann superiore associata a tale partizione è limitata da

${\frac {8}{n^{2}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {\varphi (m)}{m}}\leq {\frac {8}{n}}c,$

che è una quantità convergente a zero per $n\to +\infty$.

Altro

Il grafico della funzione di Thomae presenta una dimensione frattale di 3/2.

Bibliografia

• (EN) Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
• (EN) Spivak, M. Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
• (EN) Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5

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