Formula di Perron

In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

Enunciato

Sia $\{a(n)\}$ una funzione aritmetica, e sia

$g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}$

la sua serie di Dirichlet corrispondente. Si supponga che la serie di Dirichlet sia assolutamente convergente per $\Re (s)>\sigma _{a}$. Allora la formula di Perron afferma che

$A(x)={\sum _{n\leq x}}^{\star }a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}dz\;$,

per ogni $x>0$ e $c>\sigma _{a}$. In questo caso, la stella a fianco del simbolo di sommatoria segnala che l'ultimo termine della somma va moltiplicato per 1/2 quando $x$ è un intero.

Dimostrazione

Un semplice abbozzo di dimostrazione può essere ricavato dalla formula di sommazione di Abel:

$g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{0}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.$

Questa non è altro che una trasformata di Laplace con il cambio di variabile $x=e^{t}$. La formula di Perron si ricava invertendo questa relazione.

Esempi

A causa della sua relazione generale con le serie di Dirichlet, la formula di Perron è comunemente applicata a svariate somme di teoria dei numeri. In questo modo, ad esempio, si ottiene l'importante rappresentazione integrale della funzione zeta di Riemann:

$\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx$

e una formula analoga per le funzioni L di Dirichlet:

$L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx$

dove

$A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)$

e $\chi (n)$ è un carattere di Dirichlet.

Bibliografia

• (EN) Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, 1976, p. 243, ISBN 978-0-387-90163-3.
• (EN) Gérald Tenebaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7.

Voci correlate

• Funzione aritmetica
• Trasformata di Mellin