Formula di Perron

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In teoria analitica dei numeri, la formula di Perron è una formula che permette di calcolare la somma di una funzione aritmetica tramite una trasformata di Mellin inversa. La formula prende il nome da Oskar Perron.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione aritmetica, e sia

la sua serie di Dirichlet corrispondente. Si supponga che la serie di Dirichlet sia assolutamente convergente per . Allora la formula di Perron afferma che[1]

,

per ogni e . In questo caso, la stella a fianco del simbolo di sommatoria segnala che l'ultimo termine della somma va moltiplicato per 1/2 quando è un intero.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Un semplice abbozzo di dimostrazione può essere ricavato dalla formula di sommazione di Abel:

Questa non è altro che una trasformata di Laplace con il cambio di variabile . La formula di Perron si ricava invertendo questa relazione.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

A causa della sua relazione generale con le serie di Dirichlet, la formula di Perron è comunemente applicata a svariate somme di teoria dei numeri. In questo modo, ad esempio, si ottiene l'importante rappresentazione integrale della funzione zeta di Riemann:

e una formula analoga per le funzioni L di Dirichlet:

dove

e è un carattere di Dirichlet.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Formula di Perron su MathWorld.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg, Springer-Verlag, 1976, p. 243, ISBN 978-0-387-90163-3.
  • (EN) Gérald Tenebaum, Introduction to analytic and probabilistic number theory, Cambridge, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-41261-7.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]