Equivalenza elementare

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In teoria dei modelli, due strutture nello stesso linguaggio si dicono elementarmente equivalenti se in una valgono tutte e sole le formule del primo ordine che valgono nell'altra.

In simboli, " è elementarmente equivalente a " si scrive .

Due strutture isomorfe sono sempre elementarmente equivalenti; tuttavia, non è vero il contrario. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali, visti entrambi come insiemi linearmente ordinati densi, sono elementarmente equivalenti pur non essendo isomorfi; , a differenza di , è completo, ma non è possibile esprimere la condizione di completezza con una formula del primo ordine.

Relazioni con i giochi di Ehrenfeucht-Fraïssé[modifica | modifica wikitesto]

I giochi di Ehrenfeucht-Fraïssé sono giochi astratti che permettono di verificare la elementare equivalenza.

Se indichiamo con l'affermazione "in un gioco di Ehrenfeucht-Fraïssé di mosse sulle strutture e , il difensore ha una strategia vincente", si osserva per induzione che:

,

ovvero il difensore ha una strategia vincente per mosse se e solo se non è possibile trovare formule con al più quantificatori innestati che siano vere in ma non in o viceversa.

Questa osservazione suggerisce che:

ovvero, tornando alla terminologia dei giochi, che due strutture sono elementarmente equivalenti se e solo se il difensore ha una strategia vincente per un gioco di Ehrenfeucht-Fraïssé di mosse con qualsiasi.

In questo senso, generalizzando la notazione dei giochi ad ordinale qualsiasi, si può scrivere:

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