Equazione di Ramanujan-Nagell

In teoria dei numeri, l'equazione di Ramanujan-Nagell è la seguente equazione diofantea esponenziale:

$2^{n}-7=x^{2}$

Si hanno soluzioni per questa equazione solo per

n = 3, 4, 5, 7 e 15 .

che corrispondono a valori della x pari a 1, 3, 5, 11 e 181. Ciò fu congetturato da Srinivasa Ramanujan e dimostrato da Trygve Nagell.

Generalizzazioni

L'equazione

$2^{n}=x^{2}+7y^{2}$

ammette una soluzione unica per x e y interi positivi dispari ed n ≥ 3. Questa equazione fu presa in considerazione da Eulero, che non la pubblicò.

Bugeaud, Mignotte e Siksek hanno risolto completamente l'equazione:

$x^{2}+7=y^{n}$

Herrmann, Luca e Walsh hanno risolto:

$x^{2}+7y^{4}=2^{n_{1}}7^{n_{2}}11^{n_{3}}$

Altri autori, tra cui Beukers, hanno studiato l'equazione:

$x^{2}-D=2^{n}$

con $D$ intero. Apéry dimostrò che, se $D<0$ e $D\neq -7$, vi sono al più due soluzioni. Browkin e Schinzel congetturarono che il numero di soluzioni è pari a due se solo se $D=-23$ oppure $D=1-2^{k}$ per qualche $k\geq 3$. Schinzel dimostrò che, se $D$ non è della forma $1-2^{k}$, l'equazione ha al massimo una sola soluzione con $n>80$. La congettura completa di Browkin e Schinzel fu dimostrata da Beukers.

Beukers ha anche considerato l'ulteriore generalizzazione

$x^{2}-D=p^{n}$

con $D>0$ e $p$ primo dispari non divisore di $D$, dimostrando che vi sono al più 4 soluzioni in interi positivi $x$ ed $n$.

Bibliografia

• M. A. Bennett, M. Filaseta and O. Trifonov, Yet another generalization of the Ramanujan-Nagell equation, 2007. pdf

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Ramanujan-Nagell, su MathWorld, Wolfram Research.