Equazione della corda vibrante

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Corda vibrante.

L'equazione della corda vibrante è il caso unidimensionale dell'equazione delle onde, ed è usata per descrivere il fenomeno della corda vibrante. L'equazione per le vibrazioni libere della corda (equazione omogenea) è:

mentre l'equazione per le corde vibranti forzate (o trasversali) è:

In generale la soluzione dipende da due condizioni iniziali:

che in caso di corda infinita devono essere condizioni definite in tutto . Nel caso la corda sia finita e di lunghezza , si devono invece imporre le ulteriori condizioni sulla variabile :

Soluzione di D'Alembert[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione di D'Alembert consiste nella sostituzione:

L'equazione omogenea si trasforma di conseguenza; derivando una prima volta:

e derivando una seconda volta:

Dunque:

la cui soluzione generale è data da:

Si determinano le due funzioni generiche e imponendo le condizioni iniziali:

da cui si ha:

Si può integrare la seconda del sistema (cambiando segno):

nella quale si impone . Dal sistema:

che diventa:

si ha la soluzione dell'equazione vibrante libera:

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel caso le condizioni iniziali siano:
la soluzione diventa:
  • Nel caso le condizioni iniziali siano:
la nostra soluzione diventa:

Metodo di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di una corda di lunghezza finita di lunghezza , con le condizioni aggiuntive ai limiti, è intuitivo usare il metodo di separazione delle variabili o "metodo di Fourier". Consiste nella ricerca di una soluzione particolare dell'equazione omogenea del tipo:

cioè con il prodotto di due termini, di cui uno dipendente solo dalla variabile e l'altro solo dalla variabile . Sostituendo nell'equazione omogenea e derivando due volte si ottiene:

da cui:

Affinché sussista la disuguaglianza, entrambi i membri devono essere uguali alla stessa costante:

dalla quale si ottengono due equazioni in una sola variabile:

Le soluzioni di queste equazioni sono del tipo:

Dunque la soluzione generale dell'equazione omogenea diverrebbe:

.

I coefficienti e si calcolano imponendo le condizioni ai limiti:

da cui:

e quindi:

La soluzione negativa è identica a quella positiva, per cui si considera solo quella positiva. Sapendo che la soluzione è:

.

dal momento che si tratta di una soluzione anche tutte le somme sono soluzioni; dunque si può scegliere e sommare:

Ora si possono trovare i coefficienti e in modo da soddisfare le condizioni iniziali. Derivando quest'ultima rispetto a e imponendo si ottiene:

che sono gli sviluppi in serie di Fourier delle in serie di seni in . In definitiva:

che sostituiti forniscono la soluzione:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
  • (EN) Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics 57 (5): 408.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]