Equazione della corda vibrante

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L'equazione della corda vibrante è il caso unidimensionale dell'equazione d'onda, e per questo è anche detta equazione dell'onda piana:

(1)\, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

Essa è usata per il fenomeno della corda vibrante da cui il nome, nel caso specifico la (1) si riferisce all'equazione delle vibrazioni libere della corda, altrimenti si avrebbe l'equazione delle corde vibranti forzate (trasversali):

(2)\, \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f.

In generale la sua soluzione dipende da due condizioni iniziali:

(3a)\, u(x,t=0)= w_1
(3b)\, \frac{\partial u}{\partial t} (x,t=0)= w_2

che in caso di corda infinita devono essere condizioni definite in tutto (-\infty, +\infty). Nel caso la corda sia finita di lunghezza l, invece bisogna imporre le condizioni ulteriori sulla variabile x:

(4a)\, u(x=0,t)= 0
(4b)\, u(x=l,t)= 0

Soluzione di D'Alembert[modifica | modifica sorgente]

La soluzione di D'Alembert consiste nella sostituzione:

\begin{cases}X = x - at \\ Y = x + at \end{cases}

L'equazione (1) si trasforma di conseguenza; derivando una prima volta:

\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial X} + \frac{\partial u}{\partial Y} \\ \frac{\partial u}{\partial t} = a \cdot \left(\frac{\partial u}{\partial Y} - \frac{\partial u}{\partial X} \right) \end{cases}

e derivando una seconda volta:

\begin{cases} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial X^{2}} + 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial X \partial Y} + \frac{\partial^{2} u}{\partial Y^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2} \cdot \left(\frac{\partial^{2} u}{\partial X^{2}} - 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial X \partial Y} + \frac{\partial^{2} u}{\partial Y^{2}} \right) \end{cases}

Dunque:

 \frac{\partial^{2} u}{\partial X \partial Y} = 0

la cui soluzione generale è data da:

 u(X,Y) = g_1 (X) + g_2 (Y) = u(x,t) = g_1 (x -at) + g_2 (x + at)

Determiniamo le due funzioni generiche g_1,g_2 imponendo le condizioni (3a),(3b):

\begin{cases} u = g_1 (x) + g_2(x) = w_1 \\ \frac{\partial u}{\partial t} = a \cdot \left(- g_{1}^{'}(x-at) + g_{2}^{'}(x+at)\right) = w_2  \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} g_1 (x) + g_2(x) = w_1 \\ - g_{1}^{'}(x) + g_{2}^{'}(x) = \frac{w_2}{a}  \end{cases}

Possiamo integrare la seconda del sistema (cambiando segno):

g_{1}(x) - g_{2}(x) = -\frac{1}{a} \int_{0}^{x} w_2 (z) dz + C

nella quale possiamo imporre C=0. Dal sistema:

\begin{cases} g_1 (x) + g_2(x) = w_1 \\ g_{1}(x) - g_{2}(x) = -\frac{1}{a} \int_{0}^{x} w_2 (z) dz \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} g_1 (x) = \frac{1}{2} w_1 - \frac{1}{2a} \cdot \int_{0}^{x} w_2 (z) dz \\ g_{2}(x) = \frac{1}{2} w_1 + \frac{1}{2a} \cdot \int_{0}^{x} w_2 (z) dz  \end{cases}

Finalmente abbiamo la soluzione dell'equazione vibrante libera:

u (x,t)= \frac{w_1 (x-at) + w_1 (x+at)}{2} + \frac{1}{2a} \cdot \int_{x-at}^{x+at} w_2 (z) dz

Casi particolari[modifica | modifica sorgente]

  • Nel caso le condizioni iniziali (3a),(3b) siano:
\begin{cases} u(x,t=0)= w_1 \\ \frac{\partial u}{\partial t} (x,t=0)= w_2 = 0 \end{cases}
la nostra soluzione diventa:
u (x,t)= \frac{w_1 (x-at) + w_1 (x+at)}{2}
  • Nel caso le condizioni iniziali (3a),(3b) siano:
\begin{cases} u(x,t=0)= w_1 = 0  \\ \frac{\partial u}{\partial t} (x,t=0)= w_2 \end{cases}
la nostra soluzione diventa:
u (x,t)= \frac{1}{2a} \cdot \int_{x-at}^{x+at} w_2 (z) dz

Metodo di Fourier[modifica | modifica sorgente]

Nel caso di una corda di lunghezza finita di lunghezza l con le condizioni ai limiti (4a),(4b), è molto intuitivo usare il metodo di Fourier. Il metodo consiste nella ricerca di una soluzione particolare della (1), del tipo:

u= T(t) \cdot X(x)

cioè con il prodotto di due termini uno dipendente solodalla variabile x e l'altro solo dalla variabile t. Sostituendo nella (1), e derivando due volte otteniamo:

X(x) \cdot T''(t) = a^2 \cdot T(t) \cdot X''(x) \Longrightarrow \frac{T''(t)}{a^2 \cdot T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}

che perché sussista la disuguaglianza, entrambi i membri devono essere uguali alla stessa costante:

 \frac{T''(t)}{a^2 \cdot T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -K^2

dalla quale si ottengono due equazioni in una sola variabile:

\begin{cases} X''(x) + K^2 \cdot X(x) = 0 \, K \ne 0 \\ T''(t) + a^2 \cdot K^2 \cdot T(t) = 0 \, K \ne 0 \end{cases}

Le soluzioni di queste equazioni sono del tipo:

\begin{cases} X(x) = A \cos (Kx) + B \sin(Kx) \\ T(t) = C \cos (aKt) + D \sin(aKt) \end{cases}

Dunque la soluzione generale della (1) diverrebbe:

u = \left(A \cos (Kx) + B \sin(Kx) \right) \cdot \left( C \cos (aKt) + D \sin(aKt) \right) .

Cerchiamo i coefficienti A e B imponendo le condizioni ai limiti (4a),(4b):

\begin{cases} X(x=0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = 0 \\ X(x=l) = A \cos (Kl) + B \sin(Kl) = 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} A = 0 \\ B \sin(Kl) = 0 \, D \ne 0 \Longrightarrow K = \pm \frac{n\pi}{l} \end{cases}

La soluzione negativa è identica a quella positiva per cui si considera solo quella positiva. Ora sappiamo che la nostra soluzione è:

u = \left( C \cos (aKt) + D \sin(aKt) \right) \cdot \sin (Kx) .

Siccome questa è una soluzione anche tutte le somme sono soluzioni dunque possiamo scegliere K = \frac{n\pi}{l} e sommare:

u= \sum_{n=1}^{\infty} \left( C_n \cos (\frac{n \pi a t}{l}) + D_n \sin(\frac{n \pi a t}{l}) \right) \cdot \sin (\frac{n \pi x}{l})

Ora possiamo trovare i coefficienti C_n, D_n in modo da soddisfare le condizioni iniziali (3a),(3b). Derivando quest'ultima rispetto a t e imponendo t=0 otteniamo:

w_1 = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \frac{n\pi x}{l}
w_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\pi a}{l} \cdot D_n \sin \frac{n\pi x}{l}

che sono gli sviluppi in serie di Fourier delle w_1,w_2 in serie di seni in [0,l]. In definitiva:

C_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} w_1 \sin \frac{n\pi z}{l} dz
D_n = \frac{2}{n\pi a} \int_{0}^{l} w_2 \sin \frac{n\pi z}{l} dz

che sostituiti ci danno la nostra soluzione:

u = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{2}{l} \int_{0}^{l} w_1 \sin \frac{n\pi z}{l} dz \right) \cos (\frac{n \pi a t}{l}) + \left(\frac{2}{n\pi a} \int_{0}^{l} w_2 \sin \frac{n\pi z}{l} dz \right) \sin(\frac{n \pi a t}{l}) \right] \cdot \sin (\frac{n \pi x}{l})

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]