Equazione della corda vibrante

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1leftarrow.pngVoce principale: Corda vibrante.

L'equazione della corda vibrante è il caso unidimensionale dell'equazione delle onde, ed è usata per descrivere il fenomeno della corda vibrante. L'equazione per le vibrazioni libere della corda (equazione omogenea) è:

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} =0

mentre l'equazione per le corde vibranti forzate (o trasversali) è:

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f

In generale la soluzione dipende da due condizioni iniziali:

 u(x,t=0)= w_1
 \frac{\partial u}{\partial t} (x,t=0)= w_2

che in caso di corda infinita devono essere condizioni definite in tutto (-\infty, +\infty). Nel caso la corda sia finita e di lunghezza l, si devono invece imporre le ulteriori condizioni sulla variabile x:

 u(x=0,t)= 0
 u(x=l,t)= 0

Soluzione di D'Alembert[modifica | modifica wikitesto]

La soluzione di D'Alembert consiste nella sostituzione:

\begin{cases}X = x - at \\ Y = x + at \end{cases}

L'equazione omogenea si trasforma di conseguenza; derivando una prima volta:

\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial X} + \frac{\partial u}{\partial Y} \\ \frac{\partial u}{\partial t} = a \cdot \left(\frac{\partial u}{\partial Y} - \frac{\partial u}{\partial X} \right) \end{cases}

e derivando una seconda volta:

\begin{cases} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial X^{2}} + 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial X \partial Y} + \frac{\partial^{2} u}{\partial Y^{2}} \\ \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2} \cdot \left(\frac{\partial^{2} u}{\partial X^{2}} - 2 \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial X \partial Y} + \frac{\partial^{2} u}{\partial Y^{2}} \right) \end{cases}

Dunque:

 \frac{\partial^{2} u}{\partial X \partial Y} = 0

la cui soluzione generale è data da:

 u(X,Y) = g_1 (X) + g_2 (Y) = u(x,t) = g_1 (x -at) + g_2 (x + at)

Si determinano le due funzioni generiche g_1 e g_2 imponendo le condizioni iniziali:

\begin{cases} u = g_1 (x) + g_2(x) = w_1 \\ \frac{\partial u}{\partial t} = a \cdot \left(- g_{1}^{'}(x-at) + g_{2}^{'}(x+at)\right) = w_2  \end{cases}

da cui si ha:

\begin{cases} g_1 (x) + g_2(x) = w_1 \\ - g_{1}^{'}(x) + g_{2}^{'}(x) = \frac{w_2}{a}  \end{cases}

Si può integrare la seconda del sistema (cambiando segno):

g_{1}(x) - g_{2}(x) = -\frac{1}{a} \int_{0}^{x} w_2 (z) dz + C

nella quale si impone C=0. Dal sistema:

\begin{cases} g_1 (x) + g_2(x) = w_1 \\ g_{1}(x) - g_{2}(x) = -\frac{1}{a} \int_{0}^{x} w_2 (z) dz \end{cases}

che diventa:

\begin{cases} g_1 (x) = \frac{1}{2} w_1 - \frac{1}{2a} \cdot \int_{0}^{x} w_2 (z) dz \\ g_{2}(x) = \frac{1}{2} w_1 + \frac{1}{2a} \cdot \int_{0}^{x} w_2 (z) dz  \end{cases}

si ha la soluzione dell'equazione vibrante libera:

u (x,t)= \frac{w_1 (x-at) + w_1 (x+at)}{2} + \frac{1}{2a} \cdot \int_{x-at}^{x+at} w_2 (z) dz

Casi particolari[modifica | modifica wikitesto]

  • Nel caso le condizioni iniziali siano:
\begin{cases} u(x,t=0)= w_1 \\ \frac{\partial u}{\partial t} (x,t=0)= w_2 = 0 \end{cases}
la soluzione diventa:
u (x,t)= \frac{w_1 (x-at) + w_1 (x+at)}{2}
  • Nel caso le condizioni iniziali siano:
\begin{cases} u(x,t=0)= w_1 = 0  \\ \frac{\partial u}{\partial t} (x,t=0)= w_2 \end{cases}
la nostra soluzione diventa:
u (x,t)= \frac{1}{2a} \cdot \int_{x-at}^{x+at} w_2 (z) dz

Metodo di Fourier[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di una corda di lunghezza finita di lunghezza l, con le condizioni aggiuntive ai limiti, è intuitivo usare il metodo di separazione delle variabili o "metodo di Fourier". Consiste nella ricerca di una soluzione particolare dell'equazione omogenea del tipo:

u= T(t) \cdot X(x)

cioè con il prodotto di due termini, di cui uno dipendente solo dalla variabile x e l'altro solo dalla variabile t. Sostituendo nell'equazione omogenea e derivando due volte si ottiene:

X(x) \cdot T''(t) = a^2 \cdot T(t) \cdot X''(x)

da cui:

\frac{T''(t)}{a^2 \cdot T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}

Affinché sussista la disuguaglianza, entrambi i membri devono essere uguali alla stessa costante:

 \frac{T''(t)}{a^2 \cdot T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -K^2

dalla quale si ottengono due equazioni in una sola variabile:

\begin{cases} X''(x) + K^2 \cdot X(x) = 0 \qquad K \ne 0 \\ T''(t) + a^2 \cdot K^2 \cdot T(t) = 0 \qquad K \ne 0 \end{cases}

Le soluzioni di queste equazioni sono del tipo:

\begin{cases} X(x) = A \cos (Kx) + B \sin(Kx) \\ T(t) = C \cos (aKt) + D \sin(aKt) \end{cases}

Dunque la soluzione generale dell'equazione omogenea diverrebbe:

u = \left[A \cos (Kx) + B \sin(Kx) \right] \cdot \left[ C \cos (aKt) + D \sin(aKt) \right] .

I coefficienti A e B calcolano imponendo le condizioni ai limiti:

\begin{cases} X(x=0) = A \cdot 1 + B \cdot 0 = 0 \\ X(x=l) = A \cos (Kl) + B \sin(Kl) = 0 \end{cases}

da cui:

\begin{cases} A = 0 \\ B \sin(Kl) = 0 \qquad B \ne 0 \end{cases}

e quindi:

K = \pm \frac{n\pi}{l}

La soluzione negativa è identica a quella positiva, per cui si considera solo quella positiva. Sapendo che la soluzione è:

u = \left[ C \cos (aKt) + D \sin(aKt) \right] \cdot \sin (Kx) .

dal momento che si tratta di una soluzione anche tutte le somme sono soluzioni; dunque si può scegliere K = n\pi / l e sommare:

u= \sum_{n=1}^{\infty} \left[ C_n \cos \left(\frac{n \pi a t}{l}\right) + D_n \sin\left(\frac{n \pi a t}{l}\right) \right] \cdot \sin \left(\frac{n \pi x}{l}\right)

Ora si possono trovare i coefficienti C_n e D_n in modo da soddisfare le condizioni iniziali. Derivando quest'ultima rispetto a t e imponendo t=0 si ottiene:

w_1 = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin \frac{n\pi x}{l} \qquad w_2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\pi a}{l} \cdot D_n \sin \frac{n\pi x}{l}

che sono gli sviluppi in serie di Fourier delle w_1,w_2 in serie di seni in [0,l]. In definitiva:

C_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} w_1 \sin \frac{n\pi z}{l} dz \qquad D_n = \frac{2}{n\pi a} \int_{0}^{l} w_2 \sin \frac{n\pi z}{l} dz

che sostituiti forniscono la soluzione:

u = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{2}{l} \int_{0}^{l} w_1 \sin \frac{n\pi z}{l} dz \right) \cos \left(\frac{n \pi a t}{l}\right) + \left(\frac{2}{n\pi a} \int_{0}^{l} w_2 \sin \frac{n\pi z}{l} dz \right) \sin\left(\frac{n \pi a t}{l}\right) \right] \cdot \sin \left(\frac{n \pi x}{l}\right)

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Molteno, T. C. A.; N. B. Tufillaro (September 2004). "An experimental investigation into the dynamics of a string". American Journal of Physics 72 (9): 1157–1169.
  • (EN) Tufillaro, N. B. (1989). "Nonlinear and chaotic string vibrations". American Journal of Physics 57 (5): 408.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]