Disuguaglianza di Bonse

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In teoria dei numeri, la disuguaglianza di Bonse è una disuguaglianza tra numeri primi, dimostrata per vie elementari da H. Bonse nel 1907[1]. Detto p_n l'n-esimo numero primo, essa afferma che

p_{n+1}^2 < p_1 p_2 ... p_n

per n > 3. Utilizzando questa disuguaglianza, Bonse dimostrò che 30 è il più grande intero n con la seguente proprietà: se un numero naturale k, con 1 < k < n, è tale che il massimo comune divisore (n, k) = 1, allora k è un numero primo.

Bonse dimostrò anche la disuguaglianza più forte:

p_{n+1}^3 < p_1 p_2 ... p_n

per n > 5.

Queste disuguaglianze rafforzano la seguente:

p_{n+1} < p_1 p_2 ... p_n

che è conseguenza immediata della dimostrazione di Euclide del teorema dell'infinità dei numeri primi.

Miglioramenti e disuguaglianze analoghe[modifica | modifica sorgente]

M. Dalezman dimostrò nel 2000[2] che

p_{n+1}p_{n+2} < p_1 p_2 ... p_n

per n > 3.

J. Sandór dimostrò alcune disuguaglianze simili nel 1988[3], tra cui:

p_{n+5}^2 + p_{[\frac{n}{2}]}^2 < p_1 p_2 ... p_n

per n > 23.

L. Pósa dimostrò nel 1960[4] che, per ogni k > 1, esiste n_k tale che:

p_{n+1}^k < p_1 p_2 ... p_n

per n \geq n_k.

L. Panaitopol dimostrò nel 2000[5] che è sufficiente scegliere n_k = 2k e, in particolare, dimostrò che:

p_{n+1}^{n - \pi(n)} < p_1 p_2 ... p_n

dove \pi(x) è la funzione enumerativa dei primi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ H. Bonse, Üer eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung, Arch. Math. Phys. 12 (1907), pp. 292–295.
  2. ^ M. Dalezman, From 30 to 60 is Not Twice as Hard, Mathematics Magazine 73 (2000) pp. 151–153
  3. ^ J. Sandór, Uber die Folge der Primzahlen, Mathematica (Cluj), 30(53)(1988), 67–74
  4. ^ L. Pósa, Über eine Eigenschaft der Primzahlen, Mat. Lapok, 11(1960), 124–129.
  5. ^ L. Panaitopol, An inequality involving prime numbers, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 11 (2000), pp. 3–35.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]


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