Distribuzione condizionata

Date due variabili aleatorie X e Y, la distribuzione condizionata di Y dato X è la probabilità di Y quando è conosciuto il valore assunto da X. A ogni distribuzione condizionata è associato un valore atteso condizionato e una varianza condizionata.

Caso discreto

Nel caso di variabili aletorie discrete, la distribuzione condizionata di Y dato X=x, è data da:

$p_{Y}(y\mid X=x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}}.$$p_{Y}(y\mid X=x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}}.$

È necessario quindi che P(X=x)>0.

Caso continuo

Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità condizionata di Y dato X=x è data da

$f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}},$$f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}},$

Anche in questo caso, si deve avere che $f_{X}(x)>0$$f_{X}(x)>0$.

Indipendenza

Se per due variabili aleatorie X e Y si ha che P(Y = y | X = x) = P(Y = y) per ogni x e y o, nel caso continuo, f_Y(y | X=x) = f_Y(y) per ogni x e y, allora le due variabili sono dette indipendenti