Distribuzione condizionata

Date due variabili aleatorie X e Y, la distribuzione condizionata di Y dato X è la probabilità di Y quando è conosciuto il valore assunto da X. A ogni distribuzione condizionata è associato un valore atteso condizionato e una varianza condizionata.

Caso discreto

Nel caso di variabili aletorie discrete, la distribuzione condizionata di Y dato X=x, è data da:

$p_Y(y\mid X = x)=P(Y = y \mid X = x) = \frac{P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}.$

È necessario quindi che P(X=x)>0.

Caso continuo

Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità condizionata di Y dato X=x è data da

$f_Y(y \mid X=x) = \frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_X(x)},$

Anche in questo caso, si deve avere che $f_X(x)>0$.

Indipendenza

Se per due variabili aleatorie X e Y si ha che P(Y = y | X = x) = P(Y = y) per ogni x e y o, nel caso continuo, f_Y(y | X=x) = f_Y(y) per ogni x e y, allora le due variabili sono dette indipendenti