Discussione:Lista dei momenti di inerzia

Errore nel calcolo del momento di inerzia di un semidisco

Proposta di modifica

Nella lista è segnalato il seguente momento di inerzia $I_{z}$ di un semidisco per un asse passante per il suo centro di massa:

$I_{z}=mr^{2}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {8}{3\pi }}\right)$

Tale momento di inerzia segnalato è sbagliato e quello corretto, in realtà, è il seguente:

$I_{z}=mr^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {16}{9\pi ^{2}}}\right)$

Segue la dimostrazione.

Dimostrazione:

Consideriamo un disco composto da due semidischi di massa $m$. La massa del disco è $M=2m$. Il momento di inerzia di questo disco è

$I_{z,d}={\frac {Mr^{2}}{2}}=mr^{2}$

Il momento di inerzia $I_{z,d}$ del disco è pari alla somma dei due momenti di inerzia $I_{z,sd}$ dei semidischi per l’asse passante per il centro del diametro, quindi $I_{z,sd}$ è la metà del momento di inerzia $I_{z,d}$ del disco:

$I_{z,d}=2I_{z,sd}\Rightarrow I_{z,sd}={\frac {I_{z,d}}{2}}={\frac {mr^{2}}{2}}$

Poiché il centro di massa del semidisco dista $d={\frac {4}{3\pi }}r$ dal centro del diametro, si applica il teorema di Huygens-Steiner per trovare il momento di inerzia $I_{z}$ per l’asse passante per il centro di massa:

$I_{z}=I_{z,sd}-md^{2}={\frac {mr^{2}}{2}}-m\left({\frac {4}{3\pi }}r\right)^{2}=mr^{2}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {16}{9\pi ^{2}}}\right)$

Q.E.D.

--Giuseppe Basile 99 (msg) 14:45, 20 giu 2021 (CEST)

Mi sembra giusta la dimostrazione, correggi pure l'errore (se riesci anche per il semicilindro che mi sembra abbia lo stesso errore). --Datolo12 (msg) 15:28, 20 giu 2021 (CEST)

Ho corretto le due formule. --Giuseppe Basile 99 (msg) 15:33, 21 giu 2021 (CEST)