Discussione:Elasticità di sostituzione

Ho tolto questo pezzo finale di una parte aggiunta da 85.2.53.167:

«Se la funzione di produzione ha un rendimento di scala costante e i fattori sono rimunerati secondo la produttività marginale, allora la parte relativa di un fattore nel prodotto interno lordo dipende dall’elasticità di sostituzione. Quando l’elasticità è superiore all’unità, la parte relativa del fattore che cresce di più aumenta. Questa parte resta costante se l’elasticità è unitaria. Nei paesi sviluppati, il fattore capitale aumenta di più del fattore lavoro ma la parte relativa non varia molto. Ciò spiega i buon risultati ottenuti stimando le funzioni di produzione Cobb-Douglas.»

Non sono sicuro della sua correttezza e ci dovrei pensare meglio. Accetto suggerimenti e delucidazioni, anche da parte dello stesso autore. Così, di primo acchito, a me sembra l'autore abbia confuso elasticità di sostituzione e elasticità di output. Però posso sbagliarmi e sinceramente non ci ho pensato tanto --Gvittucci (msg) 22:28, 2 ott 2008 (CEST)

Mentre vagavo sull'argomento, ho trovato che l'affermazione "la parte relativa di un fattore nel prodotto interno lordo dipende dall’elasticità di sostituzione. Quando l’elasticità è superiore all’unità, la parte relativa del fattore che cresce di più aumenta. Questa parte resta costante se l’elasticità è unitaria" - che mi aveva lasciato di stucco - è di Hicks!

"An increase in the supply of any factor will increase its relative share (i.e. its proportion of the National Dividend) if its 'elasticity of substitution' is greater than unity" (Theory of Wages, Londra, 1932, p. 177). Hicks aggiunse poi che la sua concezione dell'elasticità di sostituzione e quella della Robinson coincidono se si ammettono rendimenti di scala costanti ("Note on the Elasticity of Substitution", Review of Economic Studies, 1933, vol. I, pp. 78-80).

La questione, sottile ma interessante (equilibrio parziale o generale?), è discussa in Fritz Machlup, "The Commonsense of the Elasticity of Substitution", Review of Economic Studies, 1935, vol. 2, n. 3, pp. 202-213.

Spero che la segnalazione ti sia utile. Ciao. --Leitfaden (msg) 20:55, 5 gen 2009 (CET)

Azzo...allora l'anonimo ne sapeva più di me! Sinceramente così su due piedi non capisco perché. Ci dovrei riflettere (magari lo faccio domani sera). Comunque rimane quanto detto sotto. Se vuoi modificare alcune parti o aggiungere qualcosa (magari questa cosa, con eventuale spiegazione) a me fa solo piacere. Ciao. Buona epifania (che tutte le feste si porta via...)--Gvittucci (msg) 00:48, 6 gen 2009 (CET)

Ho dato un'altra veloce occhiata (sto preparando esami!) e ho visto che nel numero del febbraio 1936 della Review c'è stata una discussione dello scritto di Machlup con interventi di Hicks, Robinson, Friedman e Lerner e tutti (Lerner un po' meno) "fanno a pezzi" Machlup. Nel merito, mi pare di capire che, anche per Hicks, l'affermazione che avevi cancellato andrebbe comunque integrata con considerazioni sull'elasticità della domanda. Ora non ho il tempo di approfondire (e forse Wikipedia non è la sede per simili approfondimenti). Si vedrà. Ciao. --Leitfaden (msg) 10:42, 6 gen 2009 (CET)

Dubbi sulle formule

Mi riferisco, per mia comodità, al caso della produzione; suppongo inoltre, sempre per mia comodità, una funzione $Y=f(L,K)$.

Prima considerazione: mi sembrerebbe opportuno indicare sempre la "direzione" del SMST, nel senso che SMST_1,2 non è la stessa cosa che SMST_2,1 (ne è il reciproco). Spero che il motivo per cui lo dico risulti chiaro dalle osservazioni che seguono.

Primo problema: il segno. C'è un segno meno che non mi torna:

• $SMST_{L,K}=-dK/dL$ è la pendenza dell'isoquanto;
• il rapporto ${\frac {d(K/L)/(K/L)}{d(SMST_{L,K})/(SMST_{L,K})}}$ (che è per me l'elasticità di sostituzione) ha segno positivo, in quanto se K/L aumenta, ci si sposta verso il tratto più ripido dell'isoquanto, quindi aumenta anche SMST_L,K, e viceversa; in altri termini, K/L e SMST_L,K sono sempre positivi, d(K/L) e d(SMST_L,K) sono sempre concordi;
• quindi σ è uguale al rapporto come è, non al rapporto cambiato di segno.

Secondo problema. In concorrenza perfetta, $SMST_{L,K}=-dK/dL={\frac {\partial Y/\partial L}{\partial Y/\partial K}}=P_{L}/P_{K}$. L'elasticità di sostituzione si può quindi esprimere con:

$\sigma ={\frac {d(K/L)/(K/L)}{d(P_{L}/P_{K})/(P_{L}/P_{K})}}={\frac {d\log(K/L)}{d\log(P_{L}/P_{K})}}$

Se questo è vero, allora i pedici delle formule in cui compaiono i prezzi sono sbagliati e si dovrebbe scrivere, ad esempio:

$\sigma ={\frac {d\log(x_{2}/x_{1})}{d\log(p_{1}/p_{2})}}$ oppure $\sigma ={\frac {d\log(x_{1}/x_{2})}{d\log(p_{2}/p_{1})}}$

invece di:

$\sigma =-{\frac {d\log(x_{1}/x_{2})}{d\log(p_{1}/p_{2})}}$

Ne segue anche che andrebbe rivista l'affermazione "Così, ad esempio, dati due fattori x1 e x2, se il costo relativo del primo aumenta, vi sarà una tendenza a sostituire il secondo con il primo, nei margini in cui questo sia possibile". Mi pare, infatti, che se aumenta il costo relativo del primo si sostituisce il primo col secondo, non il secondo col primo.

Sbaglio? --Leitfaden (msg) 11:48, 5 gen 2009 (CET)

Mbhé no. Però se fai caso l'elasticità di sostituzione lì è definita come:

$\ \sigma =-{\frac {\frac {d(x_{1}/x_{2})}{x_{1}/x_{2}}}{\frac {dSMS_{x_{1},x_{2}}}{SMS_{x_{1},x_{2}}}}}$

cioé nel tuo caso:

$\ \sigma =-{\frac {\frac {d(L/K)}{L/K}}{\frac {dSMS_{L,K}}{SMS_{L,K}}}}$

che è uguale a:

$\ \sigma ={\frac {\frac {d(K/L)}{K/L}}{\frac {dSMS_{L,K}}{SMS_{L,K}}}}$

poiché si ha:

$\ {\frac {\dot {(K/L)}}{K/L}}={\frac {\dot {K}}{K}}-{\frac {\dot {L}}{L}}=-({\frac {\dot {L}}{L}}-{\frac {\dot {K}}{K}})=-{\frac {\dot {(L/K)}}{L/K}}$

l'ho definita in quel modo perché è così che di solito viene definita, soprattutto quando si ha a che fare con funzioni di utilità e beni (vedi ad esempio il Mas-Colell). In ogni caso, per evitare confusione, ora chiarisco che con SMS si intende SMS_{x_1,x_2}. Dimmi se dissenti. Ciao --Gvittucci (msg) 16:58, 5 gen 2009 (CET)

Riguardo l'affermazione che citi: effettivamente c'era un errore. Corretta. Ciao --Gvittucci (msg) 17:13, 5 gen 2009 (CET)

Mah... Uso il Mas-Colell per consultazione (non l'ho letto dall'inizio alla fine) e, scorrendo l'indice analitico, trovo solo una veloce menzione dell'elasticità di sostituzione in un esercizio (a p. 644), senza alcuna definizione (se avessi tempo e voglia di indicarmi dove la definisce... grazie!). Per il resto, l'elasticità di sostituzione tra fattori produttivi mi pare normalmente definita come scrivevo sopra; è così in Koutsoyiannis, ed anche qui, qui, qui e immagino anche altrove ;-); è definita in modo analogo (scambiando L con K, ma sempre come rapporto positivo) pure sul sito cepa.newschool.edu/het. In sintesi, mi sembra (so bene che hai maggiore competenza di me) che si usi σ più per la produzione che per il consumo e che nel caso della produzione sia prevalente la formulazione che riportavo sopra.

Vedi tu. Buon anno! --Leitfaden (msg) 20:12, 5 gen 2009 (CET)

Dunque, il Mas-Colell riporta la definizione in fondo a pagina 97. L'ho trovata definita così anche in alcuni articoli che utilizzavano funzioni di utilità CES in modelli à la Dixit-Stiglitz. Però effettivamente, quando si tratta di fattori, la definiscono tutti nell'altro modo. Di fatto non cambia, visto che i due modi sono equivalenti. Comunque forse è più chiaro nell'altro modo. Ora lo cambio. In ogni caso, se vuoi cambiare qualcosa o rendere più chiaro qualcos'altro no problem. La voce l'avevo scritta abbastanza in fretta. Buon anno. Ciao --Gvittucci (msg) 00:42, 6 gen 2009 (CET)

M'era sfuggita! E c'è pure nell'indice analitico! Grazie di tutto. --Leitfaden (msg) 09:28, 6 gen 2009 (CET)