Delta-algebra

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In matematica, una δ-algebra (pronunciata delta-algebra) su di un insieme , è una famiglia di sottoinsiemi di che sia chiusa rispetto all'operazione di intersezione al più numerabile e di passaggio al complementare.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un insieme non vuoto, e sia una famiglia di sottoinsiemi di (ovverosia, un sottoinsieme dell'insieme delle parti di ). Diremo che è una δ-algebra su se:

  1. L'insieme vuoto appartiene ad : .
  2. Se un insieme è in , allora il suo complementare è in : .
  3. Se gli elementi di una famiglia numerabile di insiemi sono in , allora la loro intersezione è in : .

Equivalenza tra δ e σ-algebre[modifica | modifica wikitesto]

Si dimostra che il concetto di δ-algebra coincide con il concetto di σ-algebra. Infatti, sia una δ-algebra su X. Per essere una σ-algebra deve essere chiusa rispetto al complementare e rispetto all'unione al più numerabile. La prima condizione è già soddisfatta, per la seconda. Sia una famiglia al più numerabile di insiemi della δ-algebra:

avendo usato il teorema di De Morgan. Ora appartengono alla δ-algebra perché essa è chiusa rispetto al complementare. Essa è chiusa anche rispetto all'intersezione. Si conclude che è chiusa anche rispetto all'unione al più numerabile.

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