Delta-algebra

In matematica, una δ-algebra (pronunciata delta-algebra) su di un insieme $\Omega$, è una famiglia di sottoinsiemi di $\Omega$ che sia chiusa rispetto all'operazione di intersezione al più numerabile e di passaggio al complementare.

Definizione

Sia $\Omega$ un insieme non vuoto, e sia ${\mathfrak {G}}$ una famiglia di sottoinsiemi di $\Omega$ (ovverosia, un sottoinsieme dell'insieme delle parti di $\Omega$). Diremo che ${\mathfrak {G}}$ è una δ-algebra su $\Omega$ se:

1. L'insieme vuoto $\emptyset$ appartiene ad ${\mathfrak {G}}$: $\emptyset \in {\mathfrak {G}}$.
2. Se un insieme $A$ è in ${\mathfrak {G}}$, allora il suo complementare è in ${\mathfrak {G}}$: $A\in {\mathfrak {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathfrak {G}}$.
3. Se gli elementi $A_{i}$ di una famiglia numerabile di insiemi $\{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ sono in ${\mathfrak {G}}$, allora la loro intersezione è in ${\mathfrak {G}}$: $A_{i}\in {\mathfrak {G}},\forall i\in \mathbb {N} \Rightarrow \bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\in {\mathfrak {G}}$.

Equivalenza tra δ e σ-algebre

Si dimostra che il concetto di δ-algebra coincide con il concetto di σ-algebra. Infatti, sia ${\mathfrak {G}}$ una δ-algebra su X. Per essere una σ-algebra deve essere chiusa rispetto al complementare e rispetto all'unione al più numerabile. La prima condizione è già soddisfatta, per la seconda. Sia $\{A_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }$ una famiglia al più numerabile di insiemi della δ-algebra:

$\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=\left[\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}^{C}\right]^{C}$

avendo usato il teorema di De Morgan. Ora $A_{i}^{C}$ appartengono alla δ-algebra perché essa è chiusa rispetto al complementare. Essa è chiusa anche rispetto all'intersezione. Si conclude che è chiusa anche rispetto all'unione al più numerabile.