Figura di Lissajous

In matematica e in fisica, per figura di Lissajous si intende il grafico di una curva data dal sistema di equazioni parametriche

x=A_{x}\sin(\omega _{x}t+\phi _{x}),\quad y=A_{y}\sin(\omega _{y}t+\phi _{y}),

dove $A_{x}$ e $A_{y}$ sono le ampiezze, $\omega _{x}$ e $\omega _{y}$ sono le pulsazioni e $\phi _{x}$ e $\phi _{y}$ sono le fasi di due moti oscillatori ortogonali.

Tali curve sono state studiate in dettaglio dal fisico Jules Antoine Lissajous (1822 - 1880). In precedenza, nell'anno 1815, erano state oggetto di studio dell'astronomo americano Nathaniel Bowditch (1773 - 1838), motivo per cui sono chiamate anche figure di Bowditch.

L'aspetto di queste figure è molto sensibile al rapporto ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}$ tra le due pulsazioni.

In particolare, quando tale rapporto è pari a uno, la figura risulta essere, in generale, un'ellisse, che diventa una circonferenza nel caso in cui sia anche $A_{x}=A_{y}$ , $\phi _{x}=-{\frac {\pi }{2}}$ e $\phi _{y}=0$ (moti oscillatori tra loro in quadratura), o degenera a un segmento nel caso in cui sia anche $\phi _{x}=0$ , $\phi _{y}=0$ (moti oscillatori tra loro in fase). Un'altra semplice figura di Lissajous è la parabola, che si ottiene quando ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}=2$ e $\phi _{x}=0$ , $\phi _{y}=0$ . Altri rapporti producono curve più complicate, che sono chiuse solo se il rapporto ${\frac {\omega _{x}}{\omega _{y}}}$ è razionale. La forma di queste curve spesso ricorda un nodo tridimensionale, e in effetti molti tipi di nodi, quando vengono proiettati su un piano, diventano figure di Lissajous.