Cubottaedro troncato (gruppo)

Il gruppo cubottaedro troncato è un gruppo infinito, ed è un gruppo di Garside e di Artin-Tits. Non ha a che fare con il gruppo delle simmetrie del solido cubottaedro troncato.

Definizione

Definiamo il gruppo cubottaedro troncato su tre generatori $T_{3}$ come il generato da $a_{1},a_{2},a_{3}$ soggetti alle relazioni

• $a_{1}a_{2}a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}a_{2}a_{1}$
• $a_{2}a_{3}a_{2}=a_{3}a_{2}a_{3}$
• $a_{1}a_{3}=a_{3}a_{1}$

Notiamo che queste relazioni definiscono un gruppo infinito, e inoltre preservano la lunghezza delle parole.

Proprietà

Il gruppo $T_{3}$ è un gruppo di Artin (o di Artin-Tits), cioè è descritto da relazioni tutte della forma $a_{i}a_{j}a_{i}a_{j}\dots =a_{j}a_{i}a_{j}a_{i}\dots$ dove i due membri hanno stessa lunghezza.

È inoltre un gruppo di Garside, con elemento di Garside $\Delta =(a_{1}a_{2}a_{3})^{3}$.